Vettore di Park
A partire dalla trasformata di Park, si definisce vettore di Park il seguente:
overline{A}_r (t) {=}over{Delta} A_dr (t) + iota A_qr (t)
(1)Sostituendo Adr e Aqr si ottiene (omettendo la dipendenza dal tempo):
overline{A}_r (t) = k_d delim{[}{A_a (cos(vartheta_r) - iota sen(vartheta_r)) + A_b (cos(vartheta_r - 2/3 pi) - iota sen(vartheta_r - 2/3 pi)) + A_c (cos(vartheta_r - 4/3 pi) - iota sen(vartheta_r - 4/3 pi)) }{]}
(2)Ricordando che
cos(vartheta_r) - iota sen(vartheta_r) = cos(- vartheta_r) + iota sen(- vartheta_r) = e^{- iota vartheta_r}
(3)Possiamo riscrivere la (2) nel modo seguente:
overline{A}_r (t) = k_d delim{[}{A_a e^{- iota vartheta_r} + A_b e^{- iota vartheta_r - 2/3 pi} + A_c e^{- iota vartheta_r - 4/3 pi} }{]}overline{A}_r (t) = k_d delim{[}{A_a e^{- iota vartheta_r} + A_b e^{- iota vartheta_r} e^{ - 2/3 pi} + A_c e^{- iota vartheta_r} e^{ - 4/3 pi} }{]}overline{A}_r (t) = k_d e^{- iota vartheta_r} delim{[}{A_a (t) + alpha A_b (t) + alpha^2 A_c (t)}{]}
(4)Si nota l'esistenza di un'analogia con la trasformata di sequenza diretta.
Il legame tra il vettore di Park e la componente di sequenza diretta è il seguente:
overline{A}_r (t) = {k_d}/{k_sd} e^{- iota vartheta_r (t)} overline{A}_sd (t)
(5)Si noti che le grandezze di Park sono numeri reali, è il vettore di Park ad essere una quantità complessa.
L'utilità e l'applicazione principe della trasformata di Park risiede nello studio delle macchine. Qualora vi fossero più sistemi da coordinare, introdurremmo il vettore
A_R(nota: pedice maiuscolo):
overline{A}_R (t) = k_d/k_sd e^{- iota vartheta_R (t)} overline{A}_sd (t) = k_d/k_sd e^{- iota vartheta_R (t)} e^{iota vartheta_r} e^{- iota vartheta_r} A_sd
(6)Confrontando la (6) con la (5) si ottiene:
overline{A}_R (t) = overline{A}_r (t) e^{vartheta_R (t) - vartheta_r (t)}
(7)si faccia attenzione, nella (6) e nella (7) a distinguere tra R (maiuscolo) ed r (minuscolo).
La (7) è valida qualunque sia la velocità Ω dei due riferimenti. Tuttavia nei casi reali di studio le due velocità sono uguali (al più sono ammessi piccoli scorrimenti).