Trasformate in regime sinusoidale

Trasformate in regime sinusoidale

delim{lbrace}{
matrix{3}{1}{
{A_a (t) = sqrt{2} A_a cos(Omega t + phi_a)}
{A_b (t) = sqrt{2} A_b cos(Omega t + phi_b)}
{A_c (t) = sqrt{2} A_c cos(Omega t + phi_c)}
}
}{}

Utilizzando la notazione fasoriale si ottiene:

delim{lbrace}{
matrix{3}{1}{
{A_a (t) = A_a e^{iota phi_a}}
{A_b (t) = A_b e^{iota phi_b}}
{A_c (t) = A_c e^{iota phi_c}}
}
}{}

Si fa l'ipotesi che siano presenti solo le componenti di sequenza diretta e inversa.

La componente di sequenza diretta è pari a:

overline{A}_sd (t) = 1/sqrt{3} (A_a (t) + alpha A_b (t) + alpha^2 A_c (t))

sostituendo la (1) nella (2) si ottiene:

overline{A}_sd (t) = 1/sqrt{3} (A_a cos(Omega t + phi_a) + alpha A_b cos(Omega t + phi_b) + alpha^2 A_c cos(Omega t + phi_c))

Essendo noto che:

cos(beta) = {e^{iota beta} + e^{- iota beta}}/2

sostituendo la (4) nella (3) si ottiene:

overline{A}_sd (t) = sqrt{2}/{2 sqrt{3}} (A_a (e^{iota (Omega t + phi_a)} + e^{-iota (Omega t + phi_a)}) + alpha A_b (e^{iota (Omega t + phi_b)} + e^{-iota (Omega t + phi_b)}) + alpha^2 A_c (e^{iota (Omega t + phi_c)} + e^{-iota (Omega t + phi_c)}))

Ovvero:

overline{A}_sd (t) = 1/sqrt{2} (overline{A}_sd e^{iota Omega t} + hat{overline{A}_si e^{iota Omega t}})

Dove col simbolo cappuccio si intende l'operazione di coniugazione complessa.

Correlazione tra vettore di Park e grandezze di sequenza in regime sinusoidale - sequenza diretta

overline{A}_r (t) = sqrt{2} A_sd (t) e^{- iota vartheta_r}

combinando con la (5) si ottiene:

overline{A}_r (t) = e^{- iota vartheta_r} (overline{A}_sd e^{iota Omega t} + hat{overline{A}_si e^{iota Omega t}})

Ponendo θr = Ωt + θr0 si ha che il vettore di Park è solidale con la terna di sequenza diretta:

overline{A}_r (t) = e^{- iota vartheta_r0} (overline{A}_sd + {overline{A}_si}over{v} e^{- 2 iota Omega t})

Si nota che tale scelta comporta, come intuitiva conseguenza, una pulsazione pari a 2Ω della componente di sequenza inversa.

Ovviamente i componenti di un sistema elettrico sono progettati in modo da avere grandezze di sequenza inversa nulle. Vale, pertanto, l'ipotesi che

overline{A}_si = 0

overline{A}_r (t) = e^{- iota vartheta_r0} overline{A}_sd = cost.

overline{A}_dr (t) = A_sd cos(phi_d - vartheta_r0) = cost.

overline{A}_qr (t) = A_sd sen(phi_d - vartheta_r0) = cost.

In sintesi, in presenza della sola componente di sequenza diretta si ha:

delim{lbrace}{
matrix{3}{1}{
{overline{A}_a}
{overline{A}_b (t) = alpha^2 overline{A}_a}
{overline{A}_c (t) = alpha overline{A}_a}
}
}{}

La componente di sequenza diretta, tenuto conto della (12) è:

doubleright overline{A}_sd = 1/sqrt{3} (overline{A}_a + alpha overline{A}_b + alpha^2 overline{A}_c) = sqrt{3} overline{A}_a

Sostituendo la (13) nell'espressione del vettore di Park, si ottiene:

overline{A}_r = e^{- iota vartheta_r0} overline{A}_sd = sqrt{3} e^{- iota vartheta_r0} overline{A}_a

Potenza trasformata in regime sinusoidale

delim{lbrace}{
matrix{2}{1}{
{overline{I}_a = 1/sqrt{3} e^{iota vartheta_r0} overline{I}_r}
{overline{V}_a = 1/sqrt{3} e^{iota vartheta_r0} overline{V}_r}
}
}{}

La potenza complessa è pari a:

overline{S} = 3 overline{V}_a {overline{I}_a}over{v}

cdots = 3/{sqrt{3} sqrt{3}} e^{iota vartheta_r0}(V_d + iota V_q) e^{-iota vartheta_r0} (I_d - iota I_q)

cdots = (V_d I_d + V_q I_q) + iota (V_q I_d - V_d I_q) = V_p {I_p}over{v}

Si osserva, al penultimo passaggio della (17), che i due addendi rappresentano, rispettivamente, la potenza attiva e la potenza reattiva. Si conferma inoltre che la trasformazione è a potenza invariante.