Trasformata di sequenza
La trasformata di sequenza si applica a una qualunque terna di grandezze, funzione del tempo, per le quali è possibile ottenere una rappresentazione in termini di grandezze complesse. Tuttavia è possibile applicare la trasformata di sequenza ad una qualunque terna di grandezze funzioni del tempo.
delim{[}{matrix{3}{1}{{overline{A}_sd (t)} {overline{A}_si (t)} {A_so (t)}}}{]} = delim{[}{matrix{3}{3}{k_d 0 0 0 k_d 0 0 0 k_0}}{]} delim{[}{matrix{3}{3}{1 alpha alpha^2 1 alpha^2 alpha 1 1 1}}{]} delim{[}{matrix{3}{1}{{A_a (t)} {A_b (t)} {A_c (t)}}}{]}
(1)Ovvero, in forma compatta:
A_s = T_s1 T_s2 A_f(2)
Nota: Gli elementi di As non sono fasori, ma funzioni complesse del tempo
Per esteso possiamo riscrivere:
delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{overline{A}_sd (t) = k_d (A_a (t) + alpha A_b (t) + alpha^2 A_c (t))} {overline{A}_si (t) = k_d (A_a (t) + alpha^2 A_b (t) + alpha A_c (t))} {A_s0 (t) = k_0 (A_a (t) + A_b (t) + A_c (t))} }}{}
(3)Parimenti a come usualmente fatto per altre grandezze, quali tensioni e correnti, anche lo studio della propagazione delle onde è suscettibile di rappresentazione mediante trasformazioni di sequenza.
Osservando la (3) è possibile concludere che
overline{A}_sd = {overline{A}_si}over{v }A partire dalla (2) è possibile ottenere la relazione inversa:
A_f = {T_s2}^-1 {T_s1}^-1 A_s
(4)dove sono:
{T_s1}^-1 = delim{[}{matrix{3}{3}{1/k_d 0 0 0 1/k_d 0 0 0 1/k_0}}{]}
(5)
{T_s2}^-1 = 1/3 delim{[}{
matrix{3}{3}{
{1}{1}{1 .}
{alpha}{alpha^2}{1 .}
{alpha^2}{alpha}{1 .}
}
}{]}
(6)in base ai valori assegnati a Kd e a K0 si può ottenere una trasformazione a potenza invariante o a potenza variante.
Esempio
Trasformazione di sequenza, applicata ad una terna di grandezze, mediante il principio di sovrapposizione degli effetti{{dinamica_e_controllo:figura3.png|}}
//figura 1: definizione del teorema di Fortescue//
delim{lbrace}{matrix{3}{1}{ {overline{A}_a = overline{A}_ad + overline{A}_ai + overline{A}_ao} {overline{A}_b = overline{A}_bd + overline{A}_bi + overline{A}_bo} {overline{A}_c = overline{A}_cd + overline{A}_ci + overline{A}_co} }}{}doubleright delim{lbrace}{matrix{3}{1}{ {overline{A}_a = A_ad + A_ai + A_ao} {overline{A}_b = alpha^2 A_ad + alpha A_ai + A_ao} {overline{A}_c = alpha A_ad + alpha^2 A_ai + A_ao} }}{}
delim{[}{matrix{3}{1}{{overline{A}_a} {overline{A}_b} overline{A}_c}}{]} =
delim{[}{
matrix{3}{3}{1 1 1 {alpha^2} alpha 1 alpha {alpha^2} 1
}
}{]} delim{[}{matrix{3}{1}{ {A_ad} {A_ai} {A_ao} } }{]}
(7)Si osserva che la (7) e la (4) concidono purchè siano Kd = K0 = 1/3.
Relazioni tra potenza e potenza trasformata
Le tensioni e le correnti di fase e di sequenza sono quindi legate tra loro dalle seguenti relazioni:
V_f = delim{[}{matrix{3}{1}{V_a V_b V_c}}{]} = {T_s}^-1 V_s
(8)I_f = delim{[}{matrix{3}{1}{I_a I_b I_c}}{]} = {T_s}^-1 I_s
(9)La potenza complessa è data da:
overline{S} = {V_f}^T {I_f}over{v} = {V_s}^T {T_s}^{-1T} {{T_s}over{v}}^{-1} {I_s}over{v}
(10)Eseguendo il prodotto tra le due matrici centrali si ottiene:
{T_s}^{-1T} {{T_s}over{v}}^{-1} = delim{[}{matrix{3}{3}{3 0 0 0 3 0 0 0 3}}{]}
(11)Dacchè si desume:
doubleright overline{S} = 3 {V_s}^T {I_s}over{v}
(12)La potenza calcolata con le grandezze di sequenza è quindi un terzo di quella calcolata con le grandezze di fase. Concludiamo pertanto che un'opportuna scelta di Kd e di ko può rendere la trasformazione a potenza invariante. Precisamente:
Condizione di potenza invariante:
{T_s}^{-1T} {{T_s}over{v}}^{-1} = delim{[}{matrix{3}{3}{1 0 0 0 1 0 0 0 1}}{]} doubleleftright {T_s}^{-1T} = {{T_s}over{v}}^{-1}
(13)
T_s = delim{[}{matrix{3}{3}{k_d 0 0 0 k_d 0 0 0 k_0}}{]} delim{[}{matrix{3}{3}{1 alpha alpha^2 1 alpha^2 alpha 1 1 1}}{]}
(14)
{{T_s}over{v}}^T = delim{[}{matrix{3}{3}{1 1 {1 .} {alpha^2} {alpha} {1 .} alpha {alpha^2} {1 .}}}{]} delim{[}{matrix{3}{3}{k_d 0 0 0 k_d 0 0 0 k_0}}{]}
(15)//Si noti che Kd e K0 non risentono della coniugazione perchè sono coefficienti reali.//
Affinchè sia rispettata la condizione di potenza invariante devono essere:
k_d = k_0 = 1/sqrt{3}
(16)Si osservi che tale scelta porta ad un'invarianza di __potenza istantanea__