Trasformata di park della macchina sincrona in pu

Trasformata della macchina sincrona in perunità

Asse diretto

delim{lbrace}{
matrix{3}{1}{
{V_d = - R I_d + p Psi_d - Omega Psi_q}
{Psi_d = A(p) V_f - L_d (p) I_d}
{I_f = B(p) V_f + p A(p) I_d}
}
}{}

Asse quadratura

delim{lbrace}{
matrix{2}{1}{
{V_q = - R I_q + p Psi_q + Omega Psi_d}
{Psi_q = - L_q (p) I_q}
}
}{}

Si ritiene utile esprimere le grandezze del suscritto sistema in perunità. Per una scelta opportuna delle grandezze di base, è duopo ricordare che si sta facendo riferimento ad un sistema in forma trasformata. Ciò implica la necessità di ottenere un sistema coerente in grandezze trasformate. In pratica, dato che:

overline{A}_r (t) = sqrt{3} overline{A}_a e^{iota theta_ro}

overline{A}_a = A e^{iota phi_a}

Scelto un V_b per la base reale, si ottiene un

V_np = sqrt{3} V_b

sqrt{3}

V_np = sqrt{3} V_npf = V_n

I_np = sqrt{3} I_n

Omega_n

Psi_np = {V_np}/{Omega_n}

A_np  = V_np I_np = sqrt{3} V_npf sqrt{3} I_n = 3 V_n I_n = A_n

Z_np = {V_np}/{I_np} = {V_n}/{sqrt{3} I_n} = {V^2 _n}/{A_n}

L_np = {Z_np}/{Omega_n} = {V^2 _n}/{Omega_n A_n}

C_n = {A_n}/{Omega_n}

^ convenzioni ^^ ^ pedice ^ significato ^ | p | Grandezza di Park | | pf | Grandezza di fase | | n | grandezza di linea |

//Tab. 1: convenzione dei pedici//

Si farà uso, in seguito, delle suscritte grandezze come base per esprimere il modello della macchina il variabili trasformate operatoriali.

Equilibrio elettrico in pu

Asse diretto

{V_d}/{V_n} = - {R I_d}/{V_n} + {p Psi_d}/{V_n} - {Omega Psi_q}/{V_n}

Si moltiplica e si divide il primo addendo del II membro per A_n, il II e III addendo per Ω_n, ottenendo:

{V_d}/{V_n} = - {R I_d A_n}/{V_n A_n} + {p Psi_d Omega_n}/{V_n Omega_n} - {Omega Psi_q Omega_n}/{V_n Omega_n}

Confrontando la (13) con le grandezze di base scelte (dalla //(5)// alla //(12)//) ne deriva l'espressione della (13) in perunità:

v_d = - r i_d + p  {psi_d}/{Omega_n} - {Omega}/{Omega_n} psi_q

Asse quadratura

v_q = - r i_q + p {psi_q}/{Omega_n} + {Omega}/{Omega_n} psi_d

Si noti che, nonostante qualche errore di digitazione fatto in precedenza, si cerca di fare uso (in questa trattazione) del simbolo

Psi

psi

Equilibrio magnetico

Asse quadratura

Psi_q = - L_q I_q doubleright {Psi_q}/{Psi_np} = - {L_q (p) I_q Omega_n A_n V_n}/{V_n V_n A_n}

dove essendo:

1/{I_np} = {Omega_n}/{V_n V_n}

1/{L_np} = {V_n}/{A_n}

ne deriva:

doubleright psi_q = - l_q (p) i_q

dove:

l_q (p) = x_q {1 + p T prime prime _q}/{1 + p T prime prime _q0}

x_q è la reattanza sincrona che, in perunità, coincide con l'induttanza. Ciò in quanto:

X_q = Omega L_q doubleright x_q = l_q

Dacchè si intuisce di poter usare indifferentemente l'induttanza o la reattanza quando si opera in perunità.

Asse diretto

{Psi_d}/{Psi_np} = A (p) {V_f}/{Psi_np} - l_d i_d

A (p) = {M_d}/{hat{R}_f} {1 + p T_AA}/{(1+p T prime _do)(1+p T prime prime _do)} = {M_d}/{hat{R}_f} a(p)

doubleright psi_d = {M_d}/{hat{R}_f} a (p) {hat{V}_f}/{V_n} Omega_n - l_d (p) i_d =

= {M_d}/{R_f N^2 _f} {a (p) V_f N_f}/{V_n} Omega_n - l_d (p) i_d

Nota: Con le grandezze //cappuccio// si indicano quelle ottenute elidendo le mutue induttanze.

Funzionamento a vuoto a regime

Asse diretto

delim{lbrace}{
matrix{2}{1}{
{V_d = - Omega Psi_q}
{Psi_d = {M_d}/{hat{R}_f} hat{V}_f = {M_d}/{R_f N_f} V_f}
}
}{}

Ricordando che:

B_p = 1/{hat{R}_f} {1 + p T_AA}/{(1 + p T prime _d0)(1 + p T prime prime _d0)}

NEll'ipotesi di funzionamento a regime:

B_p = 1/{hat{R}_f}

doubleright hat{I}_f = 1/{hat{R}_f} hat{V}_f doubleright I_f = {V_f}/{R_f}

Asse quadratura

V_q = Omega Psi_d

delim{lbrace}{
matrix{2}{1}{
{Psi_q = 0}
{i_d = 0}
}
}{}

doubleright V_d = - Omega psi_q = 0

Da ciò si dimostra che, a vuoto, tutta la tensione è sull'asse quadratura.

Circuito di eccitazione

V_n = Omega_n Psi_d doubleright Psi_d = {V_n}/{Omega_n}

ovvero, sostituendo nella seconda delle (26) si ottiene:

{V_n}/{Omega_n} = {M_d}/{R_f N_f} V_f

Risolvendo in V_f:

V_fn = V_f0 = {V_n}/{Omega_n} {R_f N_f}/{M_d}

Resta così descritto l'equilibrio a vuoto del circuito di eccitazione.

Per confronto con la (25) (espressione di ψ_d) stante sempre l'ipotesi di funzionamento a vuoto:

{M_d}/{R_f N^2 _f} {a (p) V_f N_f}/{V_n} Omega_n = {a (p) V_f  N_f}/{V_fn}

Tuttavia si fa presente che la validità della (35) è limitata dalla scelta di V_f, che a vuoto deve essere uguale a quella scelta come base. in perunità, in una generica condizione di carico si estende la (35):

psi_d = a (p) v_f (t) - l_d (p) i_d (t)

Infine per la corrente di eccitazione si ha:

i_f = b (p) v_f + p a(p) {I_d}/{I_n} {A_n}/{V_n} {M^2 _d Omega^2 _n}/{V_n N^2 _f R_f Omega_n}

dove, essendo:

1/{V_n} {M^2 _d Omega^2 _n}/{V_n N^2 _f R_f} = 1/{V_f0 I_f0} = 1 / {P_f0}

la (37) può essere riscritta come:

i_f = b (p) V_f + p/{Omega_n} {A_n}/{P_f0} i_d a(p)

Si osserva che, nella (39) il rapporto:

1/{Omega_n} {A_n}/{P_f0}

Ha le dimensioni di un tempo. Pertanto possiamo porre, per definizione:

T_if {=}over{Delta} 1/{Omega_n} {A_n}/{P_f0}

Il valore di T_if si aggira generalmente attorno a 10 secondi. Esso è proporzionale alla potenza nominale della macchina.

Riepilogo

delim{lbrace}{
matrix{5}{1}{
{v_d = - r i_d + p/{Omega_n} psi_d - Omega/Omega_n psi_q}
{psi_d = a(p) v_f - l_d (p) i_d}
{i_f = b(p) v_f + p T_if a(p) i_d}
{v_q = - r i_q + p/{Omega_n} + Omega/Omega_n psi_d}
{psi_q = - l_q (p) i_q}
}
}{}