Trasformata di park della macchina sincrona

Trasformata di Park della Macchina sincrona

- Macchina lineare; - Avvolgimenti distribuiti in modo da generare un'onda di induzione sinusoidale; - Macchina a un paio di poli; - Avvolgimento di campo chiuso in cortocircuito; - Avvolgimento addizionale chiuso in cortocircuito.

Si fa uso della convenzione "generatore" per lo statore e la convenzione "utilizzatore" per il rotore (ovvero il circuito di eccitazione).

{{dinamica_e_controllo:figura1.png|}}

// fig. 1 schema degli avvolgimenti di statore e di rotore//

Si nota dalla fig. (1) che gli effetti della gabbia smorzatrice si manifestano su entrambi i circuiti di asse diretto e quadratura.

Equilibrio elettrico

Statore:

delim{lbrace}{
matrix{3}{1}{
{V_a (t) = - R_a I_a (t) + p psi_a (t)}
{V_b (t) = - R_b I_b (t) + p psi_b (t)}
{V_c (t) = - R_c I_c (t) + p psi_c (t)}
}
}{}

Rotore:

delim{lbrace}{
matrix{3}{1}{
{V_f (t) = - R_f I_f (t) + p psi_f (t)}
{0 = - R_A I_A (t) + p psi_A (t)}
{0 = - R_B I_B (t) + p psi_B (t)}
}
}{}

La (1) e la (2) possono essere riunite in un'unica matrice.

Equilibrio magnetico

delim{lbrace}{
matrix{6}{1}{
{psi_a (t) = -[L_aa I_a + L_ab I_b + L_ac I_c] + L_af I_f + L_aA I_A + L_aB I_B}
{psi_b (t) = -[L_ba I_a + L_bb I_b + L_bc I_c] + L_bf I_f + L_bA I_A + L_bB I_B}
{psi_c (t) = -[L_ca I_a + L_cb I_b + L_cc I_c] + L_cf I_f + L_cA I_A + L_cB I_B}
{psi_A (t) = -[L_Aa I_a + L_Ab I_b + L_Ac I_c] + L_Af I_f + L_AA I_A + L_AB I_B}
{psi_f (t) = -[L_fa I_a + L_fb I_b + L_fc I_c] + L_ff I_f + L_fA I_A + L_fB I_B}
{psi_B (t) = -[L_Ba I_a + L_Bb I_b + L_Bc I_c] + L_Bf I_f + L_BA I_A + L_BB I_B}
}
}{}

Con notazione compatta la (3) può essere riscritta come:

delim{[}{
matrix{2}{1}{
{psi_S}
{psi_R}
}
}{]} = 
delim{[}{
matrix{2}{2}{
{-L_SS}{L_SR}
{-L_SR}{L_RR}
}
}{]}
delim{[}{
matrix{2}{1}{
{I_S}
{I_R}
}
}{]}

La matrice L si compone di 36 parametri. Si osserva che, data la non solidarietà del rotore con lo statore, le induttanze non sono costanti, ma dipendono dalla posizione del rotore e quindi dal tempo. Il fatto che la macchina ruoti comporta pertanto:

- Autoinduttanze di statore variabili a causa dell'anisotropia del rotore; - Mutue induttanze di statore e statore-rotore dipendenti dalla posizione del rotore.

Rimangono costanti soltanto i parametri indipendenti dalla posizione del rotore, ovvero:

delim{lbrace}{
matrix{3}{1}{
{L_ff = L_f = cost.}
{L_AA = L_A = cost.}
{L_BB = L_B = cost.}
}
}{}

Si nota, in particolare, che fra gli assi magnetici delle gabbie smorzatrici e fra l'asse magnetico q e l'asse magnetico dell'avvolgimento di eccitazione non vi sono accoppiamenti:

delim{lbrace}{
matrix{3}{1}{
{L_fB = L_Bf = 0}
{L_AB = L_BA = 0}
{L_Af = L_fA = cost.}
}
}{}

Per quanto riguarda invece le mutue fra gli avvolgimenti di rotore e gli avvolgimenti di statore, si ha un andamento sinusoidale del tempo (nelle ipotesi costruttive fatte preliminarmente).

{{dinamica_e_controllo:figura2.png|}}

//Fig. 2: Andamento delle mutue induttanze//

Per le fasi b e c si ottengono gli stessi risultati riportati in fig. 2, ma sfasati di 120°. In questo modo sono pertanto identificati gli andamenti dei parametri variabili di Lrr ed Lsr.

Per quanto riguarda gli avvolgimenti di statore, ai fini della valutazione delle autoinduttanze, si ha che essi vedono un'induttanza variabile (v fig. 3) con pulsazione doppia rispetto alla velocità di rotazione del rotore.

{{dinamica_e_controllo:figura4.png|}}

//Fig. 4: Andamento delle auto induttanze di statore//

Per quanto riguarda le mutue induttanze tra gli avvolgimenti di statore si ha una situazione analoga alla precedente, in cui tuttavia il valore medio rimane negativo per via delle convenzioni assunte:

{{dinamica_e_controllo:figura5.png|}}

//Fig. 5: andamento delle mutue induttanze di statore//

Inoltre si osserva che il valore è massimo (in modulo) quando il rotore si trova in posizioni intermedie tra gli assi magnetici di due avvolgimenti di statore.

Riferimento di Park sulla macchina sincrona

delim{[}{matrix{2}{1}{
{psi_S}
{psi_R}
}}{]}
delim{[}{matrix{2}{2}{
{-L_SS}{L_SR}
{-{L_SR}^T}{L_RR}
}}{]}
delim{[}{matrix{2}{1}{
{I_S}
{I_R}
}}{]}

La matrice Lrr pertanto non è coinvolta nella trasformazione, essendo composta da elementi costanti.

L'equilibrio elettrico in variabili trasformate, con riferimento alla derivata della trasformata di Park, può essere riscritto come:

V_S (t) = - R I_S (t) + {partial psi_S (t)}/{partial t}

doubleright V_P = - R I_P (t) + {partial psi_P (t)}/{partial t} + Omega T_Omega psi_P (t)

In forma estesa la (9) può essere riscritta come:

delim{lbrace}{
matrix{3}{1}{
{V_d (t) = - R I_d (t) + {partial psi_d (t)}/{partial t} - omega psi_q (t) = - R I_d - E_d}
{V_q (t) = - R I_q (t) + {partial psi_q (t)}/{partial t} + omega psi_d (t) = - R I_q + E_q}
{V_0 (t) = - R I_0 (t) + {partial psi_0 (t)}/{partial t} = - R I_0 + E_0}
}
}{}

Si pongano:

E_{Omega d} = - Omega psi_q

E_{Omega q} = Omega psi_d

L'equilibrio descritto dalla (10) consente di un'interpretazione grafica:

{{dinamica_e_controllo:figura6.png|}}

//Fig. 6: interpretazione circuitale dell'equilibrio in variabili trasformate//

La rappresentazione di fig. 6 suggerisce la seguente modellizzazione:

psi = L I doubleright

delim{lbrace}{
matrix{2}{1}{
{psi_S = - L_SS I_S + L_SR I_R}
{psi_R = - {L_SR}^T I_S + L_RR I_R}
}
}{}

Trasformata di Park delle equazioni magnetiche

delim{lbrace}{
matrix{2}{1}{
{psi_S = {T_P}^-1 psi_P}
{I_S = {T_P}^-1 I_P}
}}{}

Sostituendo la (12) nella (11) si ottiene:

delim{lbrace}{
matrix{2}{1}{
{{T_P}^-1 psi_P = - L_SS {T_P}^-1 I_P + L_SR I_R}
{psi_R = - {L_SR}^T {T_P}^-1 I_P + L_RR I_R}
}}{}

doubleright delim{lbrace}{
matrix{2}{1}{
{{T_P}^-1 psi_P = - T_P L_SS {T_P}^-1 I_P + T_P L_SR I_R}
{psi_R = - {L_SR}^T {T_P}^-1 I_P + L_RR I_R}
}}{}

La (13) scritta in forma matriciale diventa:

delim{[}{matrix{2}{1}{{psi_P}{psi_R}}}{]} = 
delim{[}{matrix{2}{2}{{- T_P L_SS {T_P}^-1}{T_P L_SR}{- {L_SR}^T {T_P}^-1}{L_RR}}}{]}
delim{[}{matrix{2}{1}{{I_P}{I_R}}}{]}

Gli elementi della matrice (14), valutati singolarmente sono:

L_11 = - T_P L_SS {T_P}^-1 =
- delim{[}{matrix{3}{3}{
{L_d}{0}{0}
{0}{L_q}{0}
{0}{0}{L_0}
}}{]}

L_12 = T_P L_SR =
sqrt{3/2} delim{[}{matrix{3}{3}{
{M_f}{M_A}{0}
{0}{0}{M_B}
{0}{0}{0}
}}{]}

L_21 = - {L_SR}^T {T_P}^-1 =
- sqrt{3/2} delim{[}{matrix{3}{3}{
{M_f}{0}{0}
{M_A}{0}{0}
{0}{M_B}{0}
}}{]}

L_22 = L_RR =
- sqrt{3/2} delim{[}{matrix{3}{3}{
{L_f}{M_fA}{0}
{M_Af}{L_A}{0}
{0}{0}{L_B}
}}{]}

Da un punto di vista magnetico si osserva che i tre circuiti di Park (L₁₁) sono disaccoppiati tra loro e che le grandezze in gioco non dipendono più dal tempo. Infatti anche se ante-trasformazione vi erano grandezze variabili con frequenza doppia, si hanno delle semplificazioni per le quali la dipendenza dal tempo viene meno.

Trasformata di Park delle equazioni elettriche

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{
{V_d = - R I_d + {partial psi_d}/{partial t} - Omega psi_q}
{V_f = R_f I_f + {partial psi_f}/{partial t}}
{0 = R_A I_A + {partial psi_A}/{partial t}}
}}{}

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{
{psi_d = f(I_d, I_f, I_A)}
{psi_f = f(I_d, I_f, I_A)}
{psi_A = f(I_d, I_f, I_A)}
}}{}

più in particolare la dipendenza dei flussi dalle correnti è data da:

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{
{psi_d = - L_d I_d + sqrt{3/2} M_f I_f + sqrt{3/2} M_A I_A}
{psi_f = - sqrt{3/2} M_f I_d + L_f I_f + M_fA I_A}
{psi_A = - sqrt{3/2} M_A I_d + M_Af I_f + L_A I_A}
}}{}

Per l'asse quadratura si ha che:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{
{V_q = - R I_q + {partial psi_q}/{partial t} + Omega psi_d}
{0 = R_B I_B + {partial psi_B}/{partial t}}
}}{}

Per l'asse omopolare, infine:

V_0 = - R I_0 + {partial psi_0}/{partial t}

psi_0 = - L_0 I_0

Matrice magnetica di asse diretto

V_(d) = delim{[}{matrix{3}{1}{V_d V_f 0}}{]}

psi_(d) = delim{[}{matrix{3}{1}{psi_d psi_f psi_A}}{]}

I_(d) = delim{[}{matrix{3}{1}{I_d I_f I_A}}{]}

La matrice magnetica di asse diretto non è simmetrica. Ciò è dovuto dal fatto che gli accoppiamenti mutui non sono uguali tra loro. E' tuttavia possibile trasformare un accoppiamento magnetico in un circuito a "T" equivalente (v fig. 7).

{{dinamica_e_controllo:figura7.png|}}

//Fig. 7: Circuito equivalente a "T" di un mutuo accoppiamento//

Allo stesso modo nel caso di circuiti trifasi si ha l'equivalenza descritta in fig. 8:

{{dinamica_e_controllo:figura8.png|}}

//Fig. 8: circuito equivalente a tre mutui accoppiamenti//

Ma la trasformazione di fig. 8 è fattibile soltanto se i tre mutui accoppiamenti sono tutti uguali tra loro. Purtroppo tale requisito non è soddisfatto in generale. Si considera, a tal fine, una matrice N_d tale che:

N_d = 
delim{[}{
matrix{3}{3}{
1 0 0
0 N_f 0
0 0 N_a
}}{]}

doubleright
delim{[}{
matrix{3}{1}{
hat{Psi_d}
hat{Psi_f}
hat{Psi_A}
}}{]} =
N_d delim{[}{
matrix{3}{1}{
{Psi_d}
{Psi_f}
{Psi_A}
}}{]}

doubleright
delim{[}{
matrix{3}{1}{
hat{V_d}
hat{V_f}
hat{0}
}}{]} =
N_d delim{[}{
matrix{3}{1}{
{V_d}
{V_f}
{0}
}}{]}

doubleright
delim{[}{
matrix{3}{1}{
hat{I_d}
hat{I_f}
hat{I_A}
}}{]} =
N_d^{-1} delim{[}{
matrix{3}{1}{
{I_d}
{I_f}
{I_A}
}}{]}

La matrice (24) è pertanto atta a "riportare le grandezze al primario".

Psi_{(d)} = L_{(d)} I_{(d)}

premoltiplicando a sinistra la (28) per N_d^-1 N_d:

{N_d}^-1 hat{Psi_{(d)}} = L_{(d)} N_d hat{I_{(d)}} doubleright hat{Psi_{(d)}} = N_d L_{(d)} N_d hat{I_{(d)}}

Si ottiene così una matrice L_d ulteriormente trasformata:

hat{L_d} = delim{[}{
matrix{3}{3}{
{-L_d}{sqrt{3/2}M_f N_f}{sqrt{3/2}M_A N_A}
{- sqrt{3/2}M_f N_f}{L_f {N_f}^2}{M_fA N_f N_A}
{- sqrt{3/2}M_A N_A}{M_fA N_f N_A}{{N_A}^2 L_A}
}
}{]}

Se si scelgono, in particolare

N_f = sqrt{3/2} {M_A}/{M_fA}

N_f = sqrt{3/2} {M_f}/{M_fA}

hat{L_d} = delim{[}{
matrix{3}{3}{
{-L_d}{M_d}{M_d}
{- M_d} hat{L_f} {M_d}
{- M_d}{M_d} hat{L_A}
}
}{]}

Si noti che, essendo n_{d - 11} = 1, saranno

hat{Psi_d} = Psi_d

hat{V_d} = V_d

delim{[}{
matrix{3}{1}{
{Psi_d}
hat{Psi_f}
hat{Psi_A}
}
}{]} = 
delim{[}{
matrix{3}{1}{
{- L_d I_d + M_d hat{I_f} + M_d hat{I_A}}
{- M_d I_d + hat{L_f} hat{I_f} + M_d hat{I_A}}
{- M_d I_d + M_d hat{I_f} + L_A hat{I_A}}
}
}{]}

delim{lbrace}{
matrix{3}{1}{
{V_d = - R I_d + p Psi_d - Omega Psi_q}
{hat{V_f} = hat{R_f} hat{I_f} + p hat{Psi_f}}
{0 = hat{R_A} hat{I_A} + p hat{Psi_A}}
}
}{}

E' importante ricordare che, nonostante tutte le trasformazioni operate, questo sistema resta comunque a potenza invariante. L'equivalente circuitale della (33) è di seguito raffigurato:

{{dinamica_e_controllo:figura9.png|}}

//Fig. 9: Rappresentazione circuitale dell'equilibrio magnetico//

Circuiti equivalenti

{{dinamica_e_controllo:figura10.png|}}

//Fig. 10: Equivalenti circuitali degli assi: diretto; omopolare; quadratura.//

Si noti che i tre circuiti di fig. 10 sono indipendenti tra loro e caratterizzati da parametri costanti (come già detto si è omessa la trattazione per ottenere i secondi due).