Trasformata di park della macchina asincrona

Macchina asincrona

Le grandezze di statore non sono sincrone con quelle di rotore.

Il riferimento, relativamente alla prima fase, è fissato come in figura:

{{:dinamica_e_controllo:figura18.png|}}

//Fig. 18: riferimento di Park sulla fase 1 della macchina asincrona//

L'angolo α tra la fase 1 di statore e la fase 1 di rotore si ottiene come integrale della velocità meccanica della macchina:

alpha (t) = int{0}{t}{n (t) dt}

dove n(t) è, per l'appunto, la velocità meccanica della macchina.

Il riferimento di Park è scelto rotante e legato alla velocità elettrica della macchina:

theta_r (t) = int{0}{t}{Omega (t) dt}

L'angolo tra la fase di rotore e il riferimento di Park è desumibile come differenza tra la (2) e la (1):

alpha_s (t) = theta_r (t) - alpha (t)

... = int{0}{t}{(Omega(t) - n(t)) dt}

... = int{0}{t}{sigma (t) dt}

la grandezza σ(t), data dalla differenza tra la velocità elettrica della macchina (Ω) e la velocità meccanica (n), prende il nome di scorrimento assoluto e si misura in radianti al secondo ([rad][s]^-1).

Per la trattazione che segue si farà riferimento alle seguenti ipotesi:

- Macchina lineare; - Avvolgimenti distribuiti simmetricamente; - Rotore isotropo (ergo a simmetria cilindrica, dacchè si avranno autoinduttanze costanti); - Mutue induttanze tra avvolgimento di statore e di rotore aventi andamento sinusoidale in funzione della posizione angolare; - Rotore chiuso in cortocircuito.

Equilibrio elettrico di statore

V_s (t) = R_s I_s (t) + p Psi_s (t)

Dove V_s è un vettore di 3 componenti.

Equilibrio elettrico di rotore

0 = R_r I_r (t) + p Psi_r (t)

In cui si è assunta la convenzione da generatore. Si rimarca che anche nella (5), come nella (4) sono trattate grandezze vettoriali.

Trasformata di Park

V_ps = T_p V_s (t) = T_p R_s {T_p}^{-1} T_p I_s + p T_p Psi_s (t) + Omega T_Omega T_p  Psi_s (t)

0 = - T_p R_r {T_p}^{-1} T_p I_r (t) + p T_p Psi_r (t) + sigma T_Omega T_p Psi_r (t)

I valori istantanei delle tensioni di asse diretto e di asse quadratura sono, pertanto:

delim{lbrace}{
matrix{4}{1}{
{V_sd = R_s I_sd + p Psi_sd - Omega Psi_sq}
{V_sq = R_s I_sq + p Psi_sq + Omega Psi_sd}
{0 = - R_r I_rd + p Psi_rd - sigma Psi_rq}
{0 = - R_r I_rq + p Psi_rq + sigma Psi_rd}
}
}{}

Le (8) espresse in termini di vettori di Park risultano essere:

delim{lbrace}{
matrix{2}{1}{
{overline{V}_s = R_s overline{I}_s + p overline{Psi}_s + iota Omega overline{Psi}_s}
{0 = R_r overline{I}_r + p overline{Psi}_r + iota sigma overline{Psi}_r}
}
}{}

Equazioni di equilibrio magnetico

delim{lbrace}{
matrix{2}{1}{
{overline{Psi}_s = L_s overline{I}_s - M overline{I}_r}
{overline{Psi}_r = M overline{I}_s - L_s overline{I}_r}
}}{}

Si osservi che i legami tra i flussi e le posizioni relative tra rotore e statore sono costanti nel riferimento di Park (poichè nel riferimento di partenza hanno andamento sinusoidale).

alpha (t) = int{0}{t}{n (t) dt}

theta_r (t) = int{0}{t}{Omega (t) dt}

alpha_s (t) = int{0}{t}{sigma (t) dt}

La trasformata, così come è stata ottenuta, suggerisce la seguente configurazione circuitale:

{{:dinamica_e_controllo:figura19.png|}}

//Fig. 19: Circuito equivalente in trasformata di Park della parte magnetica della macchina asincrona//

Si noti che, essendo i circuiti di asse diretto e di asse quadratura uguali tra loro, si può costruire un unico circuito "vettoriale" in termini di trasformata di Park.

Equilibrio elettrico

{{:dinamica_e_controllo:figura20.png|}}

//Fig. 20: Circuito equivalente della trasformata di Park della macchina asincrona//

FIXME: errata corrige: in fig. 20 il generatore di tensione associato al rotore dipende da σ e non da Ω.

Si noti la somiglianza col circuito di asse quadratura della macchina sincrona, a meno del generatore di tensione associato allo scorrimento σ.

Rappresentazione in Perunità

V_b = V_n = sqrt{3} V_nph

I_b = sqrt{3} I_n

Z_b = {V_b}/{I_b} = {V_n}/{sqrt{3} I_n} = {V^2 _n}/{A_n}

A_b = V_b I_b = sqrt{3} V_n I_n = A_n

si perviene alla rappresentazione in perunità:

overline{V}_s /{V_n} = R_s overline{I}_s /{V_n} + p overline{Psi}_s /{V_n} + iota Omega overline{Psi}_s /{V_n} =

= {R_s I_s sqrt{3} I_n}/{V_n sqrt{3} I_n} + p {Psi_s Omega_n}/{V_n Omega_n} + iota Omega {Psi_s Omega_n}/{V_n Omega_n}

= {R_s I_s Z_b}/{I_b} + p {Psi_s}/{Omega_n Psi_b} + iota Omega {Psi_s}/{Omega_n Psi_b}

Riscrivendo la (11) in termini di grandezze pu si ha, infine:

overline{v}_s = r_s i_s + p/{Omega_n} overline{psi}_s + iota {Omega}/{Omega_n} overline{psi}_s

Estendendo la notazione a tutte le altre grandezze, con passaggi analoghi:

delim{lbrace}{
matrix{4}{1}{
{overline{v}_s = r_s i_s + p/{Omega_n} overline{psi}_s + iota {Omega}/{Omega_n} overline{psi}_s}
{0 = - r_r i_r + p/{Omega_n} overline{psi}_r + iota {sigma}/{Omega_n} overline{psi}_r}
{overline{psi}_s = x_s overline{i}_s - x_m overline{i}_r}
{overline{psi}_r = x_m overline{i}_s - x_r overline{i}_r}
}
}{}

Legami operatoriali

FIXME nota: di seguito sono omessi, di tanto in tanto, gli overline{...}

dalla seconda equazione delle (13) si ha:

1/Omega_n (p + iota sigma) overline{psi}_r = r_r overline{i}_r

Sostituendo l'ultima della (13) nella (14):

r_r overline{i}_r = i/Omega_n (p + iota sigma) (x_m overline{i}_s - x_r overline{i}_r)

raccogliendo i_r e risolvendo in i_r:

overline{i}_r = {1/Omega_n (p + iota sigma) x_m overline{i}_s}/{r_r + 1/Omega_n (p + iota sigma) x_r}

Sostituendo la (16) nella terza delle (13) si ottiene:

overline{psi}_s = overline{i}_s ({x_s - {(p+iota sigma) x_m ^2}/{r_r Omega_n + (p + iota sigma) x_r}})

La (17) testè ottenuta, che esprime un legame tra corrente e flusso di statore, altro non è che una funzione di trasferimento operatoriale avente le dimensioni di un'impedenza.

doubleright overline{psi}_s = x(p) overline{i}_s (t)

Costanti di tempo

delim{(}{x_s - {(p+iota sigma) x_m ^2}/{r_r Omega_n + (p + iota sigma) x_r}}{)} = x_s {1 + (p + iota sigma) T prime}/{1 + (p + iota sigma) T_0 prime}

si nota che, rispetto al modello della macchina sincrona, al semplice operatore "p" si è sostituito un operatore "p + j σ". Ciò sta a significare che vi sono effetti mozionali anche sul rotore (coerentemente con ciò che si riesce ad intuire senza fare conti).

più in dettaglio le costanti di tempo introdotte nella (19) sono di seguito descritte.

Costante di tempo con statore a vuoto:

t_0 prime = {x_r}/{Omega_n r_r} = {L_r}/{R_r}

Costante di tempo con statore in cortocircuito:

T prime = 1/{Omega_n r_r} (x_r - {x_m ^2}/{x_s}) = 1/r_r (L_r - {M ^2}/{L_s})

Essa è calcolata con lo statore in cortocircuito a valle della r_s. Se si calcola la (19) a regime, in condizioni di rotore bloccato, si ottiene:

x prime _s = x_s {T prime}/{T prime _0} = x_s - {x_m ^2}/{x_r}

che prende il nome di //reattanza di cortocircuito//.