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Trasformata di Park applicata al doppio bipolo

Sia dato un doppio bipolo che non presenta elementi capacitivi (v. fig. 1)

//fig. 1: doppio bipolo//

Applicando la II legge di kirchhoff si ottiene:

delim{[}{matrix{3}{1}{
{Delta V_1}
{Delta V_2}
{Delta V_3}
}}{]}
=
[R]
delim{[}{matrix{3}{1}{
{I_1}
{I_2}
{I_3}
}}{]}
+
partial/{partial t}
delim{[}{matrix{3}{1}{
{Phi_1}
{Phi_2}
{Phi_3}
}}{]}

(1)

I flussi, in particolare, possono essere espressi come:

delim{[}{matrix{3}{1}{
{Phi_1}
{Phi_2}
{Phi_3}
}}{]}
=
[L]
delim{[}{matrix{3}{1}{
{I_1}
{I_2}
{I_3}
}}{]}

(2)

In forma compatta la (1) e la (2) possono essere riscritte come:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{
{Delta V_f (t) = R I_f (t) + {partial Phi_f (t)}/{partial t}}
{Phi_f (t) = L I_f (t)}
}}{}

(3)

Si sottolinea che le grandezze I_f e V_f sono tutte funzioni del tempo.

Si applica la trasformata di Park. A tal fine si ricorda la derivata della trasformata di park:

T_p {partial Phi_f (t)}/{partial t} = {partial Phi_P (t)}/{partial t} + Omega T_Omega Phi_P

(4)

Si precisa con rifrimento alla derivata della trasformata di Park, che la matrice T_Ω ha la seguente forma:

T_Omega = delim{[}{matrix{3}{3}{0 {-1} 0 {1} 0 0 0 0 0}}{]}

Sostituendo nella (3) si ottiene:

doubleright T_P Delta V_f = T_P R I_f + {partial Phi_P (t)}/{partial t} + Omega T_Omega Phi_P

(5)

Moltiplicando tra R e If per la matrice identica:

doubleright T_P Delta V_f = T_P R {T_P}^-1 T_P I_f + {partial Phi_P (t)}/{partial t} + Omega T_Omega Phi_P = T_P R {T_P}^-1 I_P + {partial Phi_P (t)}/{partial t} + Omega T_Omega Phi_P

(6)

Dove:

Phi_P = T_P L {T_P}^-1 I_P

(7)

Se il sistema e' simmetrico, inoltre, le matrici trasformate assumono forma diagonale (proprio come nella trasformata di sequenza). Sovente le tre resistenze della matrice digonale R sono uguali tra loro:

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{
{Delta V_dr (t) = R I_dr (t) + {partial Phi_dr (t)}/{partial t} - Omega Phi_qr}
{Delta V_qr (t) = R I_qr (t) + {partial Phi_qr (t)}/{partial t} + Omega Phi_dr}
{Delta V_0 = R I_0 + {partial Phi_0 (t)}/{partial t}}
}}{}

(8)

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{
{Phi_dr = L_d I_dr}
{Phi_qr = L_d I_qr}
{Phi_0 = L_0 I_0}
}}{}

(9)

Nonostante la forma diagonale delle matrici, le grandezze di asse diretto e di asse quadratura non sono disaccoppiate tra loro. Le grandezze di asse diretto e di asse quadratura continuano infatti a influenzarsi in ragione di Ω.

Stante l'ipotesi di simmetria rispetto alle resistenze si puo' scrivere il vettore di Park nel seguente modo:

Delta overline{V}_r = Delta V_dr + iota Delta V_qr

(10)

Sostituendo la (8) nella (10) si ottiene:

Delta overline{V}_r = R I_dr + {partial Phi_dr}/{partial t} - Omega Phi_qr + iota R I_qr + iota {partial Phi_qr}/{partial t} + iota Omega Phi_dr

(11)

Raccogliendo R, d/dt e jΩ si ottiene:

Delta overline{V}_r = R (I_dr + iota I_qr) + partial/{partial t} (Phi_dr + iota Phi_qr) + iota Omega (Phi_dr + iota Phi_qr)

(12)

... = R overline{I}_r + partial/{partial t} overline{Phi}_r + iota Omega overline{Phi}_r

... = R overline{I}_r + (p + iota Omega) overline{Phi}_r = R overline{I}_r + L (p + iota Omega) overline{I}_r

(13)

L'ultimo passaggio della 13, valido nell'ipotesi di simmetria rispetto alle induttanze, suggerisce l'introduzione di una impedenza operatoriale che si puo' definire come:

overline{Z} = R + (p + iota Omega) L

(14)

Trasformata di park applicata al doppio bipolo

Trasformata di Park applicata al doppio bipolo