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Regolazione di frequenza

La regolazione della frequenza si espleta, ovviamente, tramite la regolazione di velocità dei motori primi di traino dei generatori.

Nel caso di generatori in isola su di un carico ci sono tutta una serie di regolatori che nella loro variegatezza hanno uno schema essenzialmente analogo a quello descritto in fig. 32.

//Fig. 32: Schema a blocchi di sistema di regolazione frequenza//

Nello schema a blocchi di fig. 32 è stato omesso per errore un blocco a moltiplicare

1/{s T_a}

. Si osservi che all'uscita dal nodo sommatore vi è una differenza tra due potenze, ovvero una potenza. Affinchè vi sia coerenza dimensionale occorre pertanto che il blocco suddetto sia moltiplicato per

{f_n}/{P_n}

, ottenendo una costante di inerzia

H prime = {f_n}/{P_n T_a}

. Sono di seguito descritti più in dettaglio i blocchi dello schema di fig. 32:

- G_r(s) : Blocco di regolazione; - G_v(s) : Servomeccanismo (ad es. valvole); - G_a(s) : Attuatore (motore primo); - G_c(s) : Componente di statismo del carico.

Tipicamente i primi tre blocchi vengono accorpati in unico blocco G_f(s), ovvero una funzione di trasferimento complessiva. Se si volesse ottenere un errore a regime nullo, sarebbe necessario introdurre un integratore nel controllo. La funzione di trasferimento complessiva assumerebbe pertanto la seguente forma:

G_f (s) = {k_f}/s

(1)

Ciò comporterebbe però l'ottenimento della seguente funzione di trasferimento ad anello chiuso:

W(s) = {{k_f}/s 1/{s H prime}}/{1 + {{k_f}/s 1/{s H prime}}} = 1/{1 + s^2 M/{k_f}}

(2)

La cui equazione caratteristica è:

{k_f}/{H prime} + lambda^2 = 0 doubleright lambda = underline{+} iota sqrt{{k_f}/{H prime}}

(3)

Il sistema descritto dalla (2) fornirebbe pertanto una risposta oscillante non smorzata, ovvero al limite dell'instabilità. Dacchè si conclude che il regolatore non può essere di tipo integrale puro, bensì del tipo:

G_f (s) = {k_f}/s (1 + s T_1)

(4)

L'introduzione dello zero, infatti, può preservare la stabilità del sistema. Tuttavia questo genere di regolatore (PID) è adoperato soltanto nel caso di generatore in isola su di un carico. Nel caso di più aree interconnesse tale soluzione è inaccettabile per questione di ripartizione della potenza (un solo generatore tende ad "addossarsi" tutta la potenza richiesta).

In genere il modello della funzione G_f(s) è il seguente:

G_f (s) = k_f T_1 {1 + s T_2}/{1 + s T_1}

(5)

con T₁ > T₂.

Pertanto i diagrammi di bode e il luogo delle radici relativi al sistema di fig. 32 con un controllore della tipologia avente come funzione di trasferimento la (5) sono di seguito raffigurati:

//Fig. 33: Diagrammi di Bode e luogo delle radici del sistema//

In questo modo, come desumibile dal luogo delle radici di fig. 33, è preservata la stabilità.

Parametri caratteristici della regolazione

Il guadagno statico della (5) è pari a:

delim{}{G_f (s)}{|}_{s=0} = k_f T_1 {=}over{Delta} - delim{}{{Delta P_m}/{Delta f}}{|}_{Delta f_rif = 0} = E_p

(6)

La grandezza E_p, che assume le dimensioni di un'energia, prende il nome di Energia regolante permanente del sistema L'accezione //permantente// è riferita al fatto che si manifesta a transitorio esaurito. In particolare la (6) viene usualmente espressa in

{[MW]}/{[Hz]}

. In pratica essa è la potenza che il gruppo mette in gioco a fronte di una variazione unitaria di frequenza.

Un altro parametro importante è il cosiddetto statismo:

b_p = - {{Delta f}/{f_n}}/{{Delta P}/{P_n}} = 1/E_p {P_n}/{f_n} [%]

(7)

Questo parametro mostra quanto varia la frequenza a fronte di una variazione di potenza pari alla potenza nominale (v fig. 34).

//Fig. 34: Statismo del gruppo di generazione//

Parimenti sono definite anche l'energia regolante transitoria e lo statismo transitorio:

lim{s right infty}{G_f (s)} = k_f T_2 = E_t

(8)

b_t = - delim{}{
{{Delta f}/{f_n}}/{{Delta P}/{P_n}}
}{|}_{s right infty} =
{1/E_t {P_n}/{f_n}}

(9)

Scelta delle costanti T1 e T2

Sempre con riferimento ai diagrammi di fig. 33, stante il fatto che si può agire sui parametri T₁ e e sulla distanza tra il polo e lo zero, si studia come ottenere adeguati margini di ampiezza e di fase. il risultato è una variazione dell'energia regolante transitoria del gruppo.

Volendo analizzare la risposta in funzione del tempo, si ipotizza una variazione a gradino del carico, non più considerato dipendente dalla frequenza (ovvero eliminato il blocco che tiene conto della componente di statismo del carico), ma come ingresso del sistema:

//Fig. 37: Schema a blocchi con carico indipendente dalla frequenza//

Per il sistema di fig. 37 la funzione di trasferimento è:

omega = -1/{s T_a} (P_e (s) + G_f omega_epsilon) = - P_e 1/{G_f + s T_a}

(9 bis)

dove con ω_ε si intende il segnale di errore in uscita dal nodo sommatore a sx. Si assume, come detto, una variazione a gradino del carico:

P_e (s) = {Delta P_e}/s

(9 ter)

Applicando l'ingresso (9 ter) alla funzione di trasferimento (9 bis) si ottiene:

omega (s) = {1 + s T_1}/{s^2 T_1 T_a + s (T_a + k_f T_1 T_2) + k_f T_1}

(9 quater)

Tipicamente si ha, per i vari parametri della (9 quater) i seguenti valori:

b_p = 1/{k_f T1} approx 0,05

: statismo del sistema; -

T_1 approx 10 prime prime

; -

T_2 approx 5 prime prime

; -

k_f approx 2

; -

T_a approx 10 prime prime

Sostituendo questi valori nella (9 quater) si ottiene:

omega (s) = - {Delta P_e}/100 delim{[}{5/s - 15/{s + 0,87} + 10/{s + 0,23}}{]}

Antitrasformando si ottiene l'andamento sotto raffigurato:

//Fig. 35: Risposta dinamica di un gruppo di generazione//

Caratterizzazione di impianti

Con riferimento allo schema a blocchi di fig. 32, si intende caratterizzare il blocco G_a, ovvero la funzione di trasferimento del motore primo di traino, per le tipologie principali di centrali.

Impianti idroelettrici

//Fig. 39: schema di impianto idroelettrico//

Schema a blocchi

Per un impianto idroelettrico il blocco G_a assume la seguente forma, strettamente legata agli aspetti costruttivi dell'impianto (pertanto non modificabile):

G_a (s) = k_a {1 - b T_w s}/{1 + {T_w}/2 s}

(10)

dove: * T_w è la costante di tempo della condotta, dell'ordine di 1 minuto secondo; * b è una costante che tiene conto della variazione del rendimento della turbina in funzione dell'apertura della valvola.

Si osserva un segno meno al numeratore della (10), derivante da accumuli nella condotta, che conferisce al sistema uno zero a parte reale positiva. La condotta è infatti assimilabile ad un corpo elastico. Come è noto, uno zero a parte reale positiva nella funzione di trasferimento in catena aperta si trasforma in un polo a parte reale positiva una volta chiuso l'anello di retroazione. Si intuisce immediatamente, pertanto, che occorre lavorare a frequenze basse. Il sistema è infatti a fase non minima e a seguito dell'apertura della valvola manifesta un'istantanea riduzione di potenza (del tipo: do' un colpo a destra per andare a sinistra). Ciò si dimostra facilmente studiando la risposta del sistema ad una variazione a gradino dell'apertura della valvola (con una condotta lunga un centinaio di metri, per cui si ha τ = 1 sec.):

P_m (s) = {Delta A}/s {2 - 2 s}/{s + 2} = Delta A delim{[}{1/s - 3/{s+2}}{]}

(10 bis)

Antitrasformando ne sortisce l'andamento di seguito raffigurato:

//Fig. 38: Risposta ad un'apertura a gradino della valvola//

Per uno studio più dettagliato si ricorre alla seguente analisi in perunità:

T_w = 1 doubleright g_a = {1 - s}/{1 + s/2}

(11)

g_j = 1/{10 s}

(12)

g_r = 1/{b_p} {1 + s T_2}/{1 + s T_1}

(13)

Il diagramma di bode e il luogo delle radici relativo a questa configurazione è di seguito riportato:

//Fig. 36: Diagrammi di bode e luogo delle radici relativi ad un impianto idroelettrico//

Pertanto il regolatore deve essere notevolmente rallentato onde mantenere opportuni margini di stabilità.

Approssimazione

Tuttavia nella realtà gli impianti idroelettrici lavorano a frequenze per le quali la funzione di trasferimento G_a può essere considerata una costante (≈ 1 pu).

Ciò in quanto le centrali vengono azionate lentamente, onde fugare il rischio del cosiddetto //colpo d'ariete//, ovvero un'onda di pressione che parte dalla valvola e viene riflessa dal pozzo piezometrico (un problema analogo all'apertura di una linea elettrica percorsa da corrente). Per azioni rapide vengono utilizzati, puttosto che le valvole, i //tegoli antifuga//.

Schemi tipici per impianti idroelettrici

Un possibile modo di azionare le valvole di adduzione dell'acqua di alimentazione alle turbine è coerente con lo schema di seguito riportato:

//Fig. 40: schema di controllo apertura valvola idroelettrico mediante tacoaccelerometro//

In cui si ottiene la seguente funzione di trasferimento:

G_r = 1/{k_p} {1 + s T_ac}/{1 + s/{k_a k_s k_p}}

(14)

Si osservi in fig. 40 il blocco compreso tra la frequenza di riferimento e l'angolo θ di riferimento dell'apertura della valvola. Tale blocco prende il nome di //tacoaccelerometro// (tacho accelerometer) e, derivando uno scompenso di frequenza, di fatto fornisce un'accelerazione. Tipicamente la derivazione introduce, in ambito numerico, una propagazione notevole degli errori. Tale schema può pertanto risultare poco robusto. Per ovviare al problema si ricorre alla seguente variante, in cui si sostituisce il tacoaccelerometro con un anello di reazione transitoria:

//Fig. 41: schema dicontrollo con reazione transitoria//

La funzione di trasferimento che si ottiene è:

G_r = {k_a k_s (1+ s T_d)}/{k_a k_p k_s + s (1 + s T_d k_a k_s (k_p + k_t)) + s^2 T_d}

(15)

nell'ipotesi in cui sia:

1/{k_a k_s k_t} approx 0

la (15) può essere riscritta come

1/{k_p} {1 + s T_d}/{1 + s^2 T_d (1 + {k_t}/{k_p})}

(16)

Impianti termoelettrici

Un impianto termoelettrico che implementa un ciclo Rankine risponde tipicamente al seguente schema topologico:

//Fig. 42: schema di impianto termoelettrico//

Con riferimento al soprastante schema si fa presente che la valvola regolatrice ha il compito di regolare il flusso di vapore surriscaldato da addurre allo stadio AP della turbina, mentre la valvola intercettatrice resta sempre aperta durante il normale funzionamento dell'impianto (la sua chiusura avviene soltanto nei casi descritti in seguito). Il ciclo termodinamico, rappresentato sul piano TS è di seguito riportato:

//Fig. 43: ciclo Rankine risurriscaldato sul piano T-S//

Nello studio del modello dinamico di tale ciclo occorre anzitutto tenere presente il comportamento non lineare delle valvole, in termini di caratteristica portata/apertura:

//Fig. 44: Curva caratteristica di una valvola//

Dacchè si desume l'impossibilità di considerare, senza incorrere in errori di approssimazione, un guadagno costante. Tuttavia si ricorre spesso, in pratica, all'uso di più valvole in parallelo. Il comando è realizzato per mezzo di un servomeccanismo consistente in un'asta spinta da un pistone. Con opportuni sistemi di leve si può ottenere una caratteristica quasi lineare:

//Fig. 45: Curva caratteristica di più valvole in parallelo//

Schema a blocchi

Lo schema a blocchi relativo all'impianto di cui in fig. 42 è il seguente:

//Fig. 46: Schema a blocchi di impianto termoelettrico//

Con riferimento allo schema a blocchi di fig. 46, in cui sono rappresentate la turbina e la caldaia dell'impianto, si riconoscono le seguenti parti e grandezze: Un ingresso q_i che consiste nel calore immesso nel sistema a seguito della combustione. Sottraendo a questo calore l'energia estratta dalla caldaia assieme al vapore surriscaldato (anello chiuso con k_v), si ottiene uno scompenso che, integrato e diviso per un tempo, fornisce, in pu, una pressione, alla quale, a sua volta, viene sottratta la quota di caduta di pressione nel risurriscaldatore. Moltiplicando la pressione per l'ammettenza della valvola (vedi nodo moltiplicatore) si ottiene la portata di vapore, ulteriormente rettificata nel blocco //steam cest// che tiene conto degli accumuli nelle tubazioni a valle della valvola. La portata di vapore percorre in cascata i due stadi della turbina (si noti che, mentre lo stato AP è un semplice guadagno, lo stato BP presenta invece un ritardo, dovuto al volume del risurriscaldatore). L'uscita del sistema è, infine, la potenza meccanica disponibile all'albero. Le costanti e i parametri in gioco hanno tipicamente i seguenti valori:

* T_r ≈ 15 [s]; * α ≈ 0,3 ÷ 0,4 * T_v ≈ 5 [min]; * β = 1 - α;

La funzione di trasferimento G_a (v. fig. 32), con riferimento allo schema di fig. 46 (considerato l'ingresso Δa e l'uscita P_m) e considerata costante la pressione del vapore in uscita dalla caldaia è:

G_a (s) = alpha + {1- alpha}/{1 + s T_r} = {1 + s alpha T_r}/{1 + s T_r}

(17)

Se si considera che la dinamica delle valvole è molto rapida (G_v = 1), il diagramma di Bode del complesso G_v G_a è il seguente:

//Fig. 47: Diagrammi di Bode della f.d.t G_a//

La turbina ha dunque una dinamica che risponde con una costante di tempo pari a 15 s c.ca. Tuttavia a fronte di una variazione del carico, affinchè sia garantito l'equilibrio, la potenza meccanica deve uguagliare la potenza elettrica. Tenuto conto del fatto che lo stadio di AP si comporta come un semplice guadagno, si può intuire che un eventuale gradino di carico è sopperito proprio da quest'ultimo.

//Fig. 48: Risposta del sistema ad un segnale a gradino. Errata corrige: scambiare la didascalìa delle curve AP e BP//

Come si può notare in fig. 48, uno squilibrio è inizialmente sopperito, in ragione di α, dallo stadio di AP (lo stadio di BP è infatti più lento). Successivamente, compatibilmente con il proprio ritardo T_r lo stadio di BP si adegua. La valvola intercettatrice, come già accennato in precedenza, non interviene nella dinamica del sistema, in quanto in condizioni di normale funzionamento è sempre aperta. Soltanto in caso di guasto (load rejection) si chiude in modo da strozzare la turbina di BP ed evitare che il sistema vada in fuga.

Impianti turbogas

//Fig. 49: schema impianto turbogas//

Spesso questi impianti vengono inseriti nei cicli combinati. Talvolta vengono realizzati senza aggiungere un ciclo Rankine per il recupero del calore refluo, in modo da ottenere un impianto, dalla dinamica molto veloce, in grado di sopperire ai carichi di punta. Lo schema a blocchi di un impianto turbogas è del tutto simile a quello di un impianto a vapore. La differenza sostanziale sta nelle costanti di tempo in gioco che differiscono anche di un ordine di grandezza. Da ciò si intuisce che non è più possibile trascurare la dinamica delle valvole che, seppur di dimensioni modeste rispetto alle valvole di un ciclo Rankine, hanno comunque una inerzia apprezzabile.

//Fig. 50: Schema a blocchi turbogas//

Dove:

* T_f = 0,1 ÷ 0,2 [s]; * T_r = 0,2 ÷ 1 [s];

Cicli combinati

Questo breve inciso serve per dare un'idea sugli ordini di grandezza delle potenze e dei rendimenti in gioco. Una ciclo Brayton che eroga 200 MW con un rendimento del 40% richiede 500 MW di potenza termica e cede 333 MW di potenza termica ancora disponibile per essere impiegata in un ciclo a vapore. Il lato vapore, in questo caso, lavora con le valvole sempre aperte, pertanto la regolazione si fa soltanto sul lato turbogas.

Più macchine in parallelo

Si ipotizza che tutte le macchine abbiano, istante per istante, la stessa velocità. Ovviamente ciò è sempre vero a regime permanente. Le velocità relative tra le macchine variano in presenza di transitori elettromeccanici. Detti transitori hanno tuttavia delle dinamiche sufficientemente veloci da non influenzare la regolazione di velocità (≈ 15 sec.).

nelle ipotesi fatte vale quanto segue:

delim{lbrace}{
matrix{3}{1}{
{M_1 {d Omega_1}/{d t} = P_m1 - P_e1}
{...}
{M_n {d Omega_n}/{d t} = P_mn - P_en}
}
}{}

(28)

sommando membro a membro le (28)

sum{i = 1}{n}{M_i {d Omega_i}/{d t}} = sum{i=1}{n}{P_ni} - sum{i=1}{n}{P_ei}

(29)

ricordando l'ipotesi che:

Omega_1 = ... = Omega_n

(30)

doubleright {d Omega}{d t} = {P_m - P_e}/{M}

(31)

Esprimendo la (31) in pu:

{d f}/{d t} = {P_n}/{Omega_n M} f_n (P_m - P_e)

(32)

Si noti che nella (32):

{P_n}/{Omega_n M} = 1/T_a

(33)

Ovvero il tempo di avviamento.

//Fig. 51: schema a blocchi di più macchine in parallelo//

Regolazione secondaria

Come visto in precedenza, la regolazione primaria presenta un errore a regime non nullo. Per ovviare a questo errore si ricorre alla regolazione secondaria, la cui caratteristica peculiare consiste nell'unicità: ogni sistema di gruppi in parallelo ha infatti un unico regolatore secondario. Il segnale con cui lavora il regolatore secondario è un errore di potenza in luogo di un errore di frequenza. Ciò in quanto più sistemi interconnessi hanno tipicamente una quota di scambio di cui il regolatore secondario deve tener conto.

Delta P_e = k_f T_1 Delta f + Delta P_i

L'errore di potenza di cui sopra è distribuito tra i vari gruppi secondo pesi ben precisi legati alle specifiche tecniche dei singoli gruppi nonchè a regole di mercato.

//Fig. 52: schema a blocchi regolatore secondario//

Come già accennato la regolazione secondaria è molto più lenta di tutti gli altri regolatori (τ ≈ 50 ÷ 100 sec.) al fine di evitare instabilità. Per quanto detto il nodo sommatore di fig. 52, in cui entra il segnale di squilibrio Δy può essere spostato a valle del blocco rappresentativo del gruppo di generazione

{1 + s tau_2}/{1 + s tau_1}

. questa approssimazione permette di modificare lo schema di fig. 52, in cui si può tenere conto della regolazione secondaria, aggiungendo la potenza relativa, allo stesso nodo in cui si sommano le potenze dei singoli gruppi.

//Fig. 53: schema a blocchi di macchine in parallelo con regolazione secondaria//

Se si osserva la risposta del sistema ad una variazione del carico si nota che a regime la regolazione secondaria scarica tutta la regolazione primaria, rendendone nuovamente disponibili i rispettivi margini.

FIXME (si potrebbe aggiungere la simulazione della risposta ad una variazione a gradino del carico)