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//Fig. 1: onda che si propaga lungo una generica direzione sul piano xz//
E' rappresentata la sola onda progressiva (indicata con apice "+"). Per quanto già visto, questo modo elettromagnetico è un TE^y. Il campo elettrico può essere scomposto nelle sue componenti:
vec{E}^+ = E^+ (vec{a}_x cos(theta_i) + vec{a}_z sen(theta_i)) (1)
Supposto che il campo elettrico abbia un andamento sinusoidale nel tempo si può scrivere:
E^+ = {E_M}^+ cos(omega t - beta r) = {E_M}^+ cos(beta(r - omega/beta t)) = {E_M}^+ Phi_E (r - c t) (2)
Si riconosce, pertanto, nella (2) una funzione d'onda. Il vettore β prende il nome di //costante di fase// ([β] = [rad]/[m]). Nell'ipotesi in cui l'andamento temporale dei campi sia sinusoidale, la (1) è suscettibile di rappresentazione fasoriale, esattamente come si è soliti fare per grandezze scalari funzioni sinusoidali del tempo:
v (t) = V_M cos(omega t + phi) sta a {V}over{circ} = V_M e^{iota phi} come E(t,z) = E^+ cos(omega t - beta^+ z) sta a {E}over{circ} = E^+ e^{- iota beta^+ zeta} (3)
Questa espressione, in particolare, è riferita ad un modo TEM. Se, in generale, si valuta una direzione r diversa da quella di propagazione, si ricorre ad un prodotto scalare:
vec{beta}^+ vec{r} = beta^+ (x sen(theta_i) + z cos(theta_i))(4)
Dal quale consegue la riscrittura della (3):
{E}over{circ} = E^+ e^{- iota vec{beta}^+ vec{r}} (4)
Pertanto, generalizzando il concetto di fasore ad una grandezza vettoriale, si ha:
vec{E}over{circ} = E^+ (vec{a}_x cos(theta_i) - vec{a}_z sen(theta_i)) e^{- iota vec{beta}^+ vec{r}} (5)
Dove:
vec{r} = x vec{a}_x + z vec{a}_z : Direzione di riferimento.
vec{beta}^+ = beta^+ (vec{a}_x sen(theta_i) + vec{a}_z cos(theta_i)): costante di fase.
Velocità di fase
Il vettore d'onda orientato lungo la direzione r è pari a:vec{beta}^+ vec{r} = beta^+ (x sen(theta_i) + z cos(theta_i)) (6)
La velocità di fase nella direzione dell'asse z è definita come il rapporto tra la pulsazione e il vettore d'onda orientato lungo z:
v_f = v_z = omega/{beta^+ cos(theta_i)} (7)
che, al limite, vale:
lim{theta_i right pi/2}{v_z} = infty (8)
Non deve scandalizzare questo risultato in quanto si parla di //velocità di fase// (non di propagazione). Ad essa non infatti associato alcun trasporto di energia. Ossrvando la (7) si nota che restituisce un valore di minimo se il vettore d'onda è orientato lungo la direzione di propagazione dell'onda stessa.
velocità di gruppo
Stabilita una certa direzione, si definisce la //velocità di gruppo// come il rapporto tra il vettore di Poynting e l'energia elettromagnetica.{{compatibilita_em:figura8.png|}}
//Proiezione del vettore di Poynting sull'asse delle ascisse//
Si trova che:
v_g = v cos(theta_i) (9)
[v_g] = [vec{S}] [u_em]^-1 = [W][m]^-2 [m]^3 [W]^-1 [sec]^-1 = [m] [sec]^-1 (10)
Dove vg indica la velocità di gruppo orientata lungo l'asse delle ascisse.
In particolare nel modo TEM si osserva che la velocità di fase e la velocità di gruppo coincidono:
v_g = v_f doubleright v_g v_f = v^2 (11)
Pertanto il loro prodotto è pari al quadrato della velocità di propagazione dell'onda.