Linee elettriche

Linee elettriche

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//Fig. 65 circuito equivalente di un concio di linea//

Equazioni di equilibrio

Equazione alla maglia:

V - (V + dV) = - dV = (r I + l {dI}/{dt}) dx

Equazione al nodo "A":

I - (I + dI) = - dI = (g V + c dV/dT) dx

nella (1) e nella (2), in particolare, i differenziali di I e di V sono espressi in ragione del tempo e dello spazio:

dV = {partial  V (x,t)}/{partial x} dx

dI = {partial  I (x,t)}/{partial x} dx

Pertanto la (1) e la (2) possono essere espresse come:

- dV/dx = r I + l {dI}/{dt}

- dI/dx = g V + c dV/dT

Soluzione delle equazioni differenziali di equilibrio

V (x,t) doubleright V (x,s)

I (x,t) doubleright I (x,s)

La (5) e la (6) possono pertanto essere riscritte nel modo seguente:

- {partial V _{(x,s)}}/{partial x} = r i + S l i_{(x,s)} = (r + l s) i_{(x,s)}

- {partial i _{(x,s)}}/{partial x} = g V + S c V_{(x,s)} = (g + c s) V_{(x,s)}

Derivando la (7) e la (8) rispetto a x:

delim{lbrace}{
matrix{2}{1}{
{- {partial^2 i _{(x,s)}}/{partial x^2} = (g + c s) {partial V _{(x,s)}}/{partial x}}
{- {partial^2 V _{(x,s)}}/{partial x^2} = (r + l s) {partial i _{(x,s)}}/{partial x}}
}
}{}

Sostituendo la (7) e la (8), rispettivamente nella prima e nella seconda delle (9), si ottiene:

delim{lbrace}{
matrix{2}{1}{
{- {partial^2 i _{(x,s)}}/{partial x^2} = - (g + c s) (r + l s) i_{(x,s)}}
{- {partial^2 V _{(x,s)}}/{partial x^2} = - (r + l s) (g + c s) V_{(x,s)}}
}
}{}

Si definisce la seguente costante:

k = sqrt{(r + l s) (g + c s)}

La quale, sostituita nella (10), porge:

delim{lbrace}{
matrix{2}{1}{
/{partial x^2} = k^2 i_{(x,s)}}
/{partial x^2} = k^2 V_{(x,s)}}
}
}{}

Integrale generale

V(x,s) = M e^kx + N e^-kx

Di forma analoga è l'espressione della i(x,s) Derivando la (13) si ottiene:

{partial V _{(x,s)}}/{partial x} = M k e^kx - N k e^-kx = - (r + l s) i _{(x,s)}

risolvendo la (14) rispetto a i(x,s) si ottiene:

i _{(x,s)} = - k/{r + l s} (M e^kx - N e^-kx) = - sqrt{{g + c s}/{r + ls}} (M e^kx - N e^-kx)

Si osseva che la grandezza

sqrt{{g + c s}/{r + ls}}

Z_0 = sqrt{{g + c s}/{r + ls}}

[Z₀] = [Ω], prende il nome di //impedenza caratteristica della linea//. Sebbene singolarmente le grandezze che la compongono dipendano dalla lunghezza della linea (

R = r l_0 ; L = l l_0 ; G = g l_0 ; C = c l_0

i (x,s) = - 1/Z_0 (M e^kx - N e^-kx)

La costante k, manipolata opportunamente, può essere riscritta nella seguente forma:

k = sqrt{(r + l s) (g + c s)} = sqrt{lc} sqrt{(s + r/l) (s + g/c)} = sqrt{lc} sqrt{(s + alpha + beta) (s + alpha - beta)}

dove:

alpha = 1/2 (r/l + g/c)

beta = 1/2 (r/l - g/c)

Condizioni al contorno

V(0,s) = V_p (s) = M + N

i(0,s) = I_p (s) = - 1/Z_0 (M - N)

Mettendo a sistema:

delim{[}{
matrix{2}{1}{
{V_p}
{I_p}
}
}{]} = delim{[}{
matrix{2}{2}{
{1}{1}
{-1/Z_0}{1/Z_0}
}
}{]}delim{[}{
matrix{2}{1}{
{M}
{N}
}
}{]}

Risolvendo il sistema (23) si ottiene:

M = {V_p - Z_0 I_p}/2

N = {V_p + Z_0 I_p}/2

Sostituendo i valori ottenuti nella (17) e nella omessa espressione della v(x,s) si ottiene:

v(x,s) = {V_p - Z_0 I_p}/2 e^kx + {V_p + Z_0 I_p}/2 e^-kx

i(x,s) = -1/Z_0 ({V_p - Z_0 I_p}/2 e^kx - {V_p + Z_0 I_p}/2 e^-kx)

Applicando la formula di Eulero:

cosh(kx) = {e^kx + e^-kx}/2

la (25) e la (26) possono essere riscritte nel seguente modo:

delim{lbrace}{
matrix{2}{1}{
{v(x,s) = V_p cosh(kx) - Z_0 I_p senh(kx)}
{i(x,s) = -1/Z_0 V_p senh(kx) + I_p cosh(kx)}
}
}{}

Notazione fasoriale

k = sqrt{(r + iota omega l) (g + iota omega c)}

Z_0 = sqrt{{r + iota omega l}/{g + iota omega c}}

Linea come doppio bipolo

{{:dinamica_e_controllo:figura66.png|}}

//Fig. 66: differenze tra convenzioni//

Sia "a" la lunghezza della linea:

A = D = cosh(k a)

B = Z_0 senh(k a)

C = 1/Z_0 senh(k a)

Il sistema che descrive la linea come doppio bipolo è pertanto:

delim{lbrace}{
matrix{2}{1}{
{V_p = A V_a + B I_a}
{I_p = C V_a + D I_a}
}
}{}

Essendo le costanti A, B, C e D funzioni iperboliche, si preferisce, al fine di linearizzare, esprimerne lo sviluppo in serie di Taylor:

A = D = cosh(k a) approx 1 + {(k a)^2}/2 + {(k a)^2}/{4 !} = 1 + ZY/2 + {Z^2 Y^2}/{24}

B = Z_0 senh(k a) approx sqrt{Z/Y} (k a + {(k a)^3}/{3 !} + {(k a)^5}/{5 !})

= sqrt{Z/Y} sqrt{Z Y} (1 + {Z^2 Y^2}/{6} + {Z^4 Y^4}/{120})

C = 1/Z senh(k a) = Y (1 + {Z^2 Y^2}/6 + {Z^4 Y^4}/120)

Per le linee più comuni (che tipicamente non sono più lunghe di poche centinaia di km) vale l'approssimazione al primo ordine:

delim{lbrace}{
matrix{3}{1}{
{A = D = 1}
{B = Z}
{C = Y}
}
}{}

Linea senza perdite in regime sinusoidale

V (x) = V_p cosh(iota omega sqrt{l c} x) - Z_0 I_p senh(iota omega sqrt{lc} x)

I (x) = - 1/Z_0 V_p senh(iota omega sqrt{lc} x) + I_p cosh(iota omega sqrt{lc} x)

Pertanto le grandezze di arrivo in fuzione di quelle di partenza si ottengono sostituendo la lunghezza "a" al posto della coordinata x nella (40) e nella (41)

V_a = V_p cos(omega sqrt{l c} a) - iota Z_0 I_p sen(omega sqrt{lc} a)

V_p = V_a cos(omega sqrt{l c} a) + iota Z_0 I_a sen(omega sqrt{lc} a)

I_a = - 1/Z_0 V_p senh(iota omega sqrt{lc} a) + I_p cosh(iota omega sqrt{lc} a)

Si definisce un nuova grandezza:

lambda = 1/{f sqrt{lc}} = {2 pi}/{omega sqrt{lc}}

Che prende il nome di //lunghezza d'onda della linea//.

definendo:

Z_a = {V_a}/{I_a}

Sostituendo la (44) nella (41 bis) si può esprimere la tensione di partenza come funzione della sola tensione di arrivo:

V_p = V_a (cos({2 pi a}/lambda) + iota {Z_0}/{Z_a} sen({2 pi a}/lambda))

invertendo la (45) si ottiene:

V_a = {V_p}/{cos({2 pi a}/lambda) + iota {Z_0}/{Z_a} sen({2 pi a}/lambda)}

Comportamento a vuoto

V_a = {V_p}/{cos({2 pi a}/{lambda})}

l'andamento della (47) è riportato nel seguente grafico:

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//Fig. 68: Andamento della tensione di arrivo di una linea a vuoto in funzione della lunghezza//

Esiste pertanto una lunghezza per la quale, a vuoto, la tensione di arrivo è infinita:

lim{a right lambda/4}{V_a} = infty

ovviamente nella realtà cadono alcune delle ipotesi fatte (ad es. linea non dissipativa), per la quale la tensione di arrivo, sebbene sia di valore molto elevato, non è comunque infinita.

Impedenza caratteristica

Z_l = Z₀

V_a = {V_p}/{cos({2 pi a}/lambda) + iota sen({2 pi a}/lambda)} = V_p e^{- iota {2 pi a}/{lambda}}

La tensione di arrivo ha pertanto la stessa ampiezza della tensione di partenza e presenta soltanto uno sfasamento.

Generica condizione di carico

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//Fig. 69: luogo dei punti del denominatore di V_a//

Si noti che ad ongi angolo sul grafico di fig. 69 corrisponde una certa lunghezza della linea (fissata una certa lunghezza d'onda).