Legami tra sequenza e park

Legami tra grandezze trasformate in sequenza e trasformate di Park

A_s (t) = T_s1 T_s2 A(t)

Si è poi definita la trasformata di Park come:

A_p (t) = T_p1 T_p2 A(t)

Pertanto il legame tra la trasformata di Park e la trasformata di sequenza è dato da:

A_s (t) = T_s1 T_s2 {T_p2}^-1 {T_p1}^-1 A_p (t)

Per compattezza si pone:

T_sp = T_s1 T_s2 {T_p2}^-1 {T_p1}^-1

Si esplicita il contenuto delle matrici:

T_s2 {T_p2}^-1 = 2/3 delim{[}{matrix{3}{3}{1 alpha alpha^2 1 alpha^2 alpha 1 1 1}}{]} delim{[}{matrix{3}{3}{{cos(vartheta_r)} {sen(vartheta_r)} {1/2} {cos(vartheta_rb)} {sen(vartheta_rb)} {1/2} {cos(vartheta_rc)} {sen(vartheta_rc)} {1/2}}}{]}

Svolgendo il prodotto tra le due matrici nella (5):

T_s2 {T_p2}^-1 = 2/3 delim{[}{matrix{3}{3}{
{cos(vartheta_r) + alpha cos(vartheta_rb) + alpha^2 cos(vartheta_rc)} {sen(vartheta_r) + alpha sen(vartheta_rb) + alpha^2 sen(vartheta_rc)} {0}
{cos(vartheta_r) + alpha^2 cos(vartheta_rb) + alpha cos(vartheta_rc)} {sen(vartheta_r) + alpha^2 sen(vartheta_rb) + alpha sen(vartheta_rc)} {0}
0 0 3/2
}}{]}

Essendo noto che:

vartheta_rb = vartheta_r - 2/3 pi

vartheta_rc = vartheta_r - 4/3 pi

cos(alpha + beta) = cos(alpha)cos(beta) - sen(alpha)sen(beta)

prendendo (come esempio) l'elemento a₁₁ della matrice (6) si ottiene:

a_11 = cos(vartheta_r) + alpha(cos(vartheta_r)cos(-2/3 pi) - sen(vartheta_r)sen(-2/3 pi)) + alpha^2 (cos(vartheta_r)cos(-4/3 pi) - sen(vartheta_r)sen(-4/3 pi))

cdots = cos(vartheta_r)(1+alpha 1/2 - alpha^2 1/2) + sen(vartheta_r)(alpha sqrt{3}/2 - alpha^2 sqrt{3}/2)

cdots = 3/2 cos(vartheta_r) + iota 3/2 sin(vartheta_r) = 3/2 e^{iota vartheta_r}

Ragionando in maniera analoga per tutti gli altri elementi della matrice, si ottiene:

T_s2 {T_p2}^-1 = delim{[}{matrix{3}{3}{  {-e^{-iota vartheta_r}}{e^{iota vartheta_r}}{0} {e^{-iota vartheta_r}}{-e^{-iota vartheta_r}}{0} {0}{0}{1}  }}{]}

doubleright T_sp = k_sd / k_d delim{[}{matrix{3}{3}{  {-e^{-iota vartheta_r}}{e^{iota vartheta_r}}{0} {e^{-iota vartheta_r}}{-e^{-iota vartheta_r}}{0} {0}{0}{k_d / k_sd k_s0 / k_0}  }}{]}

Sostituendo nella (3) si ottiene:

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{
{A_sd (t) = k_sd / k_d e^{iota vartheta_r} (A_dr (t) + iota A_qr (t))}
{A_si (t) = k_sd / k_d e^{- iota vartheta_r} (A_dr (t) - iota A_qr (t))}
{A_s0 (t) = k_0 / k_s0 A_0 (t)}
}}{}

Ponendo:

k_sd / k_d = 1/sqrt{2}

k_0 / k_s0 = 1

doubleright delim{lbrace}{matrix{3}{1}{ {k_sd = 1/sqrt{3}} {k_d = sqrt{2/3}} {k_s0 = k_0 = 1/sqrt{3}} }}{}

la (13) diventa:

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{
{A_sd (t) = 1 / sqrt{2} e^{iota vartheta_r} overline{A}_r (t)}
{A_si (t) = 1 / sqrt{2} e^{- iota vartheta_r} {overline{A}_r}over{v} (t)}
{A_s0 (t) = A_0 (t)}
}}{}

In sintesi si ha una rotazione pari a θ_r della componente di sequenza diretta, una rotazione di -θ_r della componente di sequenza inversa. La sequenza omopolare resta invece inalterata.