Esercizio stralli

1 - Testo del problema

1.1 - Quesito a

{{scienza_delle_costruzioni:figura3.png|}}

//Fig. 1: Asta sostenuta da singolo strallo//

1.2 - Quesito b

{{scienza_delle_costruzioni:figura4.png|}}

//Fig. 2: Asta sostenuta da N stralli//

2 - Svolgimento

2.1 - Quesito a

{{scienza_delle_costruzioni:figura5.png|}}

//Fig. 3: configurazione deformata//

Di seguito è indicata la distanza d tra il punto B e il punto C della fig. 3 in termini adimensionali:

d = alpha l (1)

2.1.1 - Descrizione degli spostamenti

Punto "A":

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x_A approx 0}{y_A = v_A/l approx theta}}}{} (3)

Punto "C":

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x_C approx 0}{y_C = v_C/l approx alpha theta}}}{} (5)

Punto "B":

2.1.2 - Deformazione dello strallo

l_i = sqrt{d^2 + h^2} = sqrt{alpha^2 l^2 + {l^2}/4} (7)

La lunghezza finale è, a sua volta:

l_f = sqrt{(d - u_C)^2 + (h + v_C)^2} approx sqrt{alpha^2 l^2 + (l/2 + l alpha theta)^2} = l sqrt{alpha^2 + (1/2 + alpha theta)^2} (8)

L'allungamento dello strallo è pertanto pari a:

delta_l = l_f - l_i = l (sqrt{alpha^2 + (1/2 + alpha theta)^2} - sqrt{alpha^2 + 1/4}) = l (sqrt{alpha^2 + 1/4 + alpha theta + alpha^2 theta^2} - sqrt{alpha^2 + 1/4}) (9)

trascurando gli infinitesimi di ordine superiore a 1:

delta_l = l (sqrt{alpha^2 + (1/2 + alpha theta)^2} - sqrt{alpha^2 + 1/4}) = l (sqrt{alpha^2 + 1/4 + alpha theta} - sqrt{alpha^2 + 1/4}) (10)

Sviluppando il primo addendo della (10) in serie di Taylor al primo ordine si ottiene:

f(0) = sqrt{alpha^2 + 1/4}

delim{}{f prime (theta)}{|}_{theta = 0} = 1/2 alpha/sqrt{alpha^2 + 1/4}

sqrt{alpha^2 + 1/4 + alpha theta} approx sqrt{alpha^2 + 1/4} + 1/2 {alpha theta}/sqrt{alpha^2 + 1/4} (11)

combinando la (11) e la (10) si ottiene:

delta_l = {l alpha theta}/{2 sqrt{alpha^2 + 1/4}} (12)

2.1.3 - Sforzo dello strallo

N = k delta_l (13)

dove:

k = {E A}/l_s (14)

A = V_ol / l_s = V_ol /{l sqrt{alpha^2 + 1/4}} (15)

Sostituendo la (15) nella (14) e la (14) nella (13) si ottiene:

N = {E V_ol alpha}/{2 l (alpha^2 + 1/4)^{3/2}} theta (16)

2.1.4 - Equilibrio della struttura

//Fig. 4: diagramma di corpo libero dell'asta rigida//

delim{lbrace}{ matrix{3}{1}{ {N cos(beta) - X_B = 0 doubleright X_B = N cos(beta)} {N sen(beta) + Y_B - P = 0 doubleright N = {P - Y_B}/{sen(beta)}} {Y_B alpha l + P (1 - alpha) l = 0 doubleright Y_B = - P {1- alpha}/alpha} } }{} (17)

Si noti che:

sen(beta) = {l/2}/{l_s} = l/2 1/{l sqrt{alpha^2 + 1/4}} (18)

Risolvendo il sistema (17) e sostituendo la (18) si ottiene:

N = {2 P sqrt{alpha^2 + 1/4}}/alpha (19)

2.1.5 - Calcolo di α ottimale

N = {2 P sqrt{alpha^2 + 1/4}}/alpha = {E V_ol alpha}/{2 l (alpha^2 + 1/4)^{3/2}} theta (20)

Risolvendo in θ si ottiene:

theta = {4 P l}/{E V_ol} {(alpha^2 + 1/4)^2}/{alpha^2} (21)

L'andamento della (21), riportato in fig 5, manifesta l'esistenza di un punto di minimo.

{{scienza_delle_costruzioni:figura7.png|}}

//Fig. 5: andamento di θ in funzione di α//

Si deriva rispetto ad α e si pone uguale a zero la (21):

{partial theta}/{partial alpha} = {4 P l}/{E V_ol} {2 alpha^4 - 1/8}/{alpha^3} (22)

delim{lbrace}{ matrix{2}{1}{ {alpha <> 0} {2 alpha^4 - 1/8 = 0} } }{} (23)

delle 4 radici che si ottengono dalla 23, l'unica significativa è quella reale positiva:

alpha_ott = 1/2 doubleright d_ott = l/2 (24)

2.2 - Quesito b

//Fig. 6: deformata//

siano:

* N = numero totale di stralli; * d = l/N; * rho_n = n d; * alpha_n = rho_n/l;

2.2.1 - Spostamenti

Punto "A"

v_A approx l theta doubleright y_A = v_A/l approx theta (25)

u_A approx 0 doubleright x_A approx 0 (26)

Generico punto dell'asta

v_n approx rho_n theta = alpha_n l theta doubleright y_n = alpha_n theta approx theta (27)

u_n approx 0 doubleright x_n approx 0 (28)

2.2.2 - deformazioni degli stralli

delta_{l_n} = {l alpha_n}/{2 sqrt{{alpha_n}^2 + 1/4}} theta (29)

2.2.3 - Sforzo degli stralli

N_n = k delta_{l_n} = {E A}/l_n delta_{l_n} (30)

Imponendo che il volume totale degli stralli si mantenga costante e che gli stralli abbiano tutti uguale sezione:

V_ol = A l_tot = A sum{n = 1}{N}{l_n} (31)

dove:

l_n = l sqrt{{alpha_n}^2 + 1/4} = l sqrt{{n/N}^2+1/4} (32)

sostituendo la (32) nella (31) e risolvendo la (31) in A si ottiene:

A = {V_ol}/{sum{n = 1}{N}{l sqrt{{n/N}^2+1/4}}} (33)

sostituendo la (33) nella (30) si ottiene:

N_n (theta) = {E V_ol}/{2 l} {n/N}/{sum{n = 1}{N}{({n/N}^2+1/4}) ({n/N}^2 + 1/4)} theta (34)

2.2.4 - equilibrio della struttura

//Fig. 7: diagramma di corpo libero dell'asta//

Le equazioni di equilibrio dell'asta rigida sono:

delim{lbrace}{ matrix{3}{1}{ {R_x = 0 doubleright X_B + sum{n=1}{N}{N_n cos(beta_n)} = 0} {R_y = 0 doubleright Y_B + sum{n=1}{N}{N_n sen(beta_n)} - P = 0} {M_c = 0 doubleright P l + X_B l/2 = 0} } }{} (35)

risolvendo si ottiene:

sum{n=1}{N}{N_n cos(beta_n) = 2 P (36)

da considerazioni geometriche si può porre:

cos(beta_n) = {alpha_n l}/{l sqrt{{n/N}^2} + 1/4} = {n/N}/{sqrt{{n/N}^2} + 1/4} (37)

Sostituendo la (30) e la (37) nella (36) e risolvendo in θ si ottiene:

theta = {4 l P}/{E V_ol} N^2 {sum{n=1}{N}{sqrt{{n/N}^2+1/4}}}/{sum{n=1}{N}{ {n^2}/{({{n/N}^2+1/4})^{3/2}} }} (38)

2.2.5 - calcolo di N ottimale

{{scienza_delle_costruzioni:figura10.png|}}

//Fig. 8: Grafico che mostra l'andamento di θ in funzione del numero di stralli//

{{scienza_delle_costruzioni:figura11.png|}}

//Fig. 9: Zoom della fig. 8 in un intorno del minimo//

Si nota inoltre che all'aumentare del numero di stralli il valore di θ tende asintoticamente ad un valore finito.