Il testo dell'esercizio è disponibile presso http://www2.ing.unipi.it/~d5660/mac/2008-01-29-MAC-Temi esame.pdf.
{{scienza_delle_costruzioni:figura1.png|}}
//Fig. 1: cilindro a sezione non circolare//
Si riassumono di seguito i dati dell'esercizio:
* L'origine del sistema di rif. xy coincide con il baricentro della stessa; * Gli assi x e y sono orientati lungo gli assi principali d'inerzia; * underline{b} = 0; * Forze di superficie non nulle solo sulle basi; * delim{lbrace}{matrix{2}{1}{ {sigma_x = sigma_y = tau_xy = tau_xz = tau_yz = 0} {sigma_z = a + b x + c y} }}{}
E' richiesto di determinare le costanti a, b e c nei seguenti casi:
1 - Azioni sulle basi equivalenti a momento flettente Mx
1.1 - ammissibilità dello stato di tensione
Si verificano le equazioni di equilibrio all'interno del corpo:div(underline{T}) + underline{b} = 0 (1)
underline{T} = underline{T}^T = delim{[}{matrix{3}{3}{ 0 0 0 0 0 0 0 0 {a + b x + c y} }}{]} (2)
Riscrivendo la (1) per esteso si ha:
delim{lbrace}{matrix{3}{1}{ {sigma_{x,x} + tau_{xy,y} + tau_{xz,z} + b_x = 0} {tau_{xy,x} + sigma_{y,y} + tau_{yz,z} + b_y = 0} {tau_{xz,x} + tau_{yz,z} + sigma_{z,z} + b_z = 0} }}{} (3)
Dove col pedice dopo la virgola si intende l'operazione di derivazione. Verificata la (3) l'equilibrio per i punti interni è verificato.
Si verificano le equazione di equilibrio sui punti di frontiera:
underline{T} underline{n} - underline{f} = 0 (4)
la (4), in particolare, risulta essere:
underline{T} underline{n} = 0 (5) sulle superfici laterali;
underline{T} underline{n} = underline{f} (6) sulle basi.
la (5), per esteso, è:
delim{[}{matrix{3}{3}{ 0 0 0 0 0 0 0 0 sigma_z }}{]} delim{[}{matrix{3}{1}{ n_x n_y 0 }}{]} = delim{[}{matrix{3}{1}{ 0 0 0 }}{]} (7)
Sempre verificata.
La (6), per esteso, è:
underline{f}= delim{[}{matrix{3}{1}{ 0 0 {a + b x + c y} }}{]} = delim{[}{matrix{3}{3}{ 0 0 0 0 0 0 0 0 sigma_z }}{]} delim{[}{matrix{3}{1}{ 0 0 n_z }}{]} (8)
Le forze di superficie applicate sulle basi, in equilibrio con gli stati di tensione in esame, devono essere distribuite linearmente.
R_x = 0 = int{S}{}{(a + b x + c y) dx dy} = int{S}{}{(a) dx dy} + int{S}{}{(b x) dx dy} + int{S}{}{(c y) dx dy} (9)
Indicando con Sx ed Sy i momenti statici:
R_x = a S + b S_y + c S_x (10)
Poichè l'origine del sistema di riferimento della base coincide con il baricentro della stessa, i momenti statici sono nulli. ne consegue che la costante "a" debba essere nulla.
R_x = a S + b 0 + c 0 = 0 doubleright a = 0 (11)
M_y = 0 = int{S}{}{sigma_z x dx dy} = int{S}{}{(- b x^2 - c x y) dx dy} (12)
Indicando con Jx, Jy, Jxy i momenti del II ordine e ricordando che i momenti misti sono nulli, in quanto gli assi x e y sono orientati lungo gli assi principali d'inerzia:
M_y = - b J_y - c J_xy = - b J_y - c 0 = 0 doubleright b = 0 (13)
M_x = int{S}{}{sigma_z y dx dy} = int{S}{}{c y^2 dx dy} = c J_x (14)
c = {M_x}/{J_x}
(15)Lo stato di tensione è ammissibile e le equazioni di equilibrio sono verificate con i valori ottenuti delle costanti a, b e c.
1.2 - Compatibilità cinematica
Verificata l'ammissibilità dello stato di tensione, resta da verificare la compatibilità cinematica.epsilon_ij = {1 + nu}/E sigma_ij - nu/E delta_ij S (16)
dove S = tr(underline{T}) = a + b x + c y (17)
epsilon_xx = {1 + nu}/E 0 - nu/E (a + b x + c y)
epsilon_yy = - nu/E (a + b x + c y)
epsilon_zz = {1 + nu}/E (a + b x + c y) - nu/E (a + b x + c y) = {a + b x + c y}/E (18)
La condizione necessaria di integrabilità è:
epsilon_{xx,y^2} + epsilon_{yy,x^2} - 2 epsilon_{xy,xy} = 0 doubleright 0 + 0 + 0 = 0 (19)
La (19) è verificata e rappresenta anche una condizione sufficiente allorchè il corpo non presenta discontinuità al suo interno. Inoltre non vi sono condizioni al contorno sugli spostamenti.
Lo stato di tensione ottenuto è pertanto staticamente ammissibile e cinematicamente compatibile ed è la soluzione unica del problema
2 - Azioni equivalenti ad un momento flettente genericamente orientato
2.1 - ammissibilità dello stato di tensione
le codizioni sono le stesse del punto precedente:delim{lbrace}{matrix{4}{1}{ {underline{T} = underline{T}^T} {div(underline{T}) = 0} {underline{T} . underline{n} = 0 (sup. laterali)} {R_z = 0} }}{} (20)
Si può scomporre il momento risultante nelle direzioni degli assi x e y:
{{scienza_delle_costruzioni:figura2.png|}}
//fig. 2 Scomposizione del momento//
M_x = M^* cos(theta)
M_y = M^* sen(theta) (21)
Sfruttando i risultati già ottenuti in precedenza, si ha:
delim{lbrace}{matrix{2}{1}{ {M_y = - b J_y = M^* sen(theta)} {M_x = c J_x = M^* cos(theta)} }}{} (22)
delim{[}{matrix{3}{3}{ 0 0 0 0 0 0 0 0 {{M cos(theta)}/{J_x} y - {M sen(theta)}/{J_y} x} }}{]} (23)
La validità della compatibilità cinematica verificata al punto precedente si estende, ovviamente anche a questo caso.
3 - azioni equivalenti ad una forza normale
Si trova, banalmente, che:a = N/A (24)
- b J_y = - N e_x doubleright b = {N e_x}/{J_y}
c J_x = - N e_y doubleright c = {N e_y}/{J_x} (25)
Anche per questo caso vale la verifica della compatibilità cinematica fatta in precedenza