Equazioni meccaniche della macchina sincrona
Per impostare lo studio della parte meccanica della macchina sincrona si impone l'equilibrio delle coppie (II equazione cardinale):
C_m (t) = J p Omega (t) + C_p (Omega) + C_e (t)(1)
Dove si sono indicate con:
* Cm - Coppia meccanica; * Cp - Coppia di attrito; * Ce - coppia elettromagnetica.
Dalla (1) deriva, banalmente, il relativo bilancio delle potenze:
P_m (t) = J Omega(t) p Omega(t) + P_p (Omega) + P_e (t)(2)
Dove si sono indicate con:
* Pm - Potenza meccanica; * Pp - Perdite per attrito; * Pe - Potenza elettrica (al netto di altre perdite).
La potenza meccanica Pm è funzione diretta del tempo perchè in genere i motori primi di traino sono controllati in potenza. Per ottenere un'espressione della quata elettrica PE(t) ci serviamo dell'equilibrio elettromagnetico della macchina secondo la trasformata di Park:
delim{lbrace}{
matrix{3}{1}{
{V_d = - R I_d + p Psi_d - Omega Psi_q}
{V_q = - R I_q + p Psi_q + Omega Psi_d}
{V_0 = - R I_0 + p Psi_0}
}
}{}
(3)Da cui è possibile calcolare una potenza totale:
P_tot = V_d I_d + V_q I_q + V_0 I_0
P_tot = - p (I^2 _d + I^2 _q + I^2 _0) + I_d p Psi_d + I_q p Psi_q + I_0 p Psi_0 - Omega Psi_q I_d + Omega Psi_d I_q(4)
Osservando la (4) emerge la presenza di un primo termine legato alle perdite per effetto Joule nello statore. I termini che contengono derivate sono nulli a regime (potenze di accumulo). Gli ultimi due addendi sono quelli legati al vero e proprio scambio di potenza con l'ambiente esterno (in termini meccanici), ovvero potenza convertita da elettrica a meccanica.
Tenendo presente l'ipotesi di comportamento lineare della macchina (ovvero assenza di perdite nel ferro), si può riscrivere l'equilibrio meccanico della macchina facendo riferimento alla quota di potenza elettrica trasformata in potenza meccanica.
{{:dinamica_e_controllo:figura17.png|}}
//Fig. 17: Bilancio delle potenze della macchina sincrona//
P_em = Omega (Psi_d I_q - Psi_q I_d) doubleright C_em = Psi_d I_q - Psi_q I_d(5)
Equazioni meccaniche in perunità
Esprimendo le grandezze sopracalcolate in perunità:
c_em = psi_d i_q - psi_q i_d(6)
C_m = J p Omega + C_p + C_e doubleright {C_m}/{C_n} = {J p Omega Omega_n Omega_n}/{A_n Omega_n} + {C_p}/{C_n} + {C_e}/{C_n}
(7)Si osservi che il rapporto:
{J Omega^2 _n}/{A_n}Ha le dimensioni di un tempo e convenzionalmente è definito "tempo di avviamento". Esso esprime l'inerzia della macchina:
T_a = {J Omega^2 _n}/{A_n}
(8)Sovente è in uso un'altra grandezza caratteristica, detta "//costante di inerzia//", indicata con H:
H = {T_a}/2
(9)La costante di inerzia esprime, in opportuna scala, l'energia cinetica assunta dalla macchina a regime:
H = 1/2 J omega^2 1/A_n(10)
Detto ciò l'equilibrio meccanico può essere espresso come:
c_m = T_a p {Omega}/{Omega_n} + c_p + c_e
(11)