Equazioni delle onde nello spazio libero

epsilon_0 approx 8,856 10^-12 [F][m]^-1

mu_0 = 4 pi 10^{-7} [H][m]^{-1}

Nel campo libero le equazioni di Maxwell possono essere scritte nel seguente modo:

delim{lbrace}{matrix{4}{1}{ {rot(vec{E}) = - {partial vec{B}}/{partial t} = - mu_0 {partial vec{H}}/{partial t} } {rot(vec{H}) = epsilon_0 {partial vec{E}}/{partial t}} {div(vec{B}) = div(vec{H}) = 0} {div(vec{E}) = div(vec{D}) = 0} }}{} (1)

Si noti che i campi sono indicati con lettere minuscole poichè nel campo libero non si distingue tra campi macroscopici e campi microscopici.

Combinando tra loro le (1) si trova:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{ {rot(rot(vec{E})) = - mu_0 partial/{partial t} rot(vec{H}) = - mu_0 epsilon_0 {partial^2 vec{E}}/{partial t^2}} {rot(rot(vec{A})) = grad(div(vec{A})) - div^2 (vec{A})} }}{} (2)

doubleright rot(rot(vec{E})) = div(div(vec{E})) - div^2 (vec{E}) = 0 - div^2 (vec{E}) = - mu_0 epsilon_0 {partial^2 vec{E}}/{partial t^2} (3)

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{ {div^2 (vec{E}) - mu_0 epsilon_0 {partial^2 vec{E}}/{partial t^2} = 0} {div^2 (vec{B}) - mu_0 epsilon_0 {partial^2 vec{B}}/{partial t^2} = 0} }}{} (4)

Le (4) assumono una forma che prende il nome di //equazione di D'Alembert// (o //equazione delle onde//). Esse sono, in realtà, sei equazioni scalari. Nell'ipotesi che la configurazione dei campi sia di modo TEM piano, delle sei suddette equazioni ne rimangono 4:

{partial^2 E_y}/{partial z^2} - mu_0 epsilon_0 {partial^2 E_y}/{partial t^2} = 0

{partial^2 E_x}/{partial z^2} - mu_0 epsilon_0 {partial^2 E_x}/{partial t^2} = 0

{partial^2 H_y}/{partial z^2} - mu_0 epsilon_0 {partial^2 H_y}/{partial t^2} = 0

{partial^2 H_x}/{partial z^2} - mu_0 epsilon_0 {partial^2 H_x}/{partial t^2} = 0 (5)

Queste equazioni descrivono, pertanto, la propagazione di un'onda piana di modo TEM (v. fig. 1)

{{compatibilita_em:figura1.swf|}} //Fig. 1: propagazione di un'onda TEM//

Proprietà dell'equazione delle onde

{partial^2 f}/{partial z^2} - 1/{c^2} {partial^2 f}/{partial t^2} = 0 (6)

Si trova che l'integrale generale della (6) è della forma:

f = varphi(z - c t) + psi(z + c t) (7)

I due addendi della (7) rappresentano, rispettivamente, un'onda progressiva ed un'onda regressiva. Ciò in quanto la (7) descrive un moto d'onda. Infatti, scelta una coppia {z1, t1}, esiste una coppia {z2, t2} tale che:

z_1 - c t_1 = z_2 - c t_2 doubleright Delta z = c (t_2 - t_1) (8)

In altre parole possiamo dire che ad un certo istante t2 si verifica, in un certo punto z2, ciò che in un'istante precedente t1 si è verificato in un'altro punto z1 (v. fig. 2)

{{compatibilita_em:figura1.png|}} //fig. 2: moto dell'onda//

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Dimostrazione

xi = z - c t eta = z + c t (9)

sostituendo la (9) nella (7) e derivando si ottiene

{partial f}/{partial z} = {partial f}/{partial xi} {partial xi}/{partial z} = {partial f}/{partial xi} 1 = {partial f}/{partial xi} {partial f}/{partial t} = {partial f}/{partial xi} {partial xi}/{partial t} = - c {partial f}/{partial xi} (10)

derivando una seconda volta si ottiene:

{partial^2 f}/{partial z^2} = {partial^2 f}/{partial xi^2} {partial^2 f}/{partial t^2} = c^2 {partial^2 f}/{partial xi^2} (8)

Sostituendo le (8) nella (6) si verifica l'identità, per la sola onda progressiva:

{partial^2 f}/{partial xi^2} - mu_0 epsilon_0 c^2 {partial^2 f}/{partial xi^2} = 0 (9)

La (9) è verificata purchè sia:

c = 1/{mu_0 epsilon_0}

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Tornando alla legge di D'Alambert abbiamo:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{ {div^2 (vec{E}) - mu_0 epsilon_0 {partial^2 vec{E}}/{partial t^2} = 0} {div^2 (vec{B}) - mu_0 epsilon_0 {partial^2 vec{B}}/{partial t^2} = 0} }}{} (9)

Nel formulare questa legge è stata fatta l'ipotesi di non solenoidalità dei campi. Tuttavia la legge di D'Alembert estende la sua validità anche ai campi solenoidali. Si nota inoltre che le sei componenti dell'equazione di D'Alembert sono disaccoppiate tra loro (ciascuna componente è infatti singolarmente risolvibile).

Per il caso particolare in esame, di onda piana che si propaga in direzione dell'asse z, possiamo porre:

partial/{partial x} = partial/{partial y} = 0 doubleright div(vec{B}) = 0 + 0 + {partial vec{B}}/{partial z} = 0 (10)

Stesso dicasi per il campo elettrico.

Inoltre, nelle ipotesi fatte sussiste anche la seguente:

0 = (rot(vec{E}))_z = - {partial B_z}/{partial t} (11)

Ne consegue che la componente di B lungo l'asse z non dipenda dal tempo.

L'integrale generale (7), particolareggiato per i campi in esame, assume la forma:

E_x = varphi_E (z - c t) + psi_E (z + c t) E_y = varphi_B (z - c t) + psi_B (z + c t) (12)

Sostituendo queste funzioni nella prima delle (1)

{rot(vec{E}) = - {partial vec{E_x}}/{partial z} = - {partial vec{B_y}}/{partial t} {partial vec{varphi_E}}/{partial z} = c {partial vec{varphi_B}}/{partial xi} (13)

Integrando primo e secondo membro delle (13) si ottiene:

varphi_E = c varphi_B doubleright varphi_E = {mu_0}/{sqrt{mu_0 epsilon_0}} varphi_H (14)

Ove si è posto:

varphi_H = 1/mu_0 varphi_B

Si può in tal modo trovare il rapporto tra il campo elettrico e il campo magnetico:

varphi_E = sqrt{{mu_0}/{epsilon_0}} varphi_H doubleright sqrt{{mu_0}/{epsilon_0}} approx 120 pi [Omega]

Questa grandezza, che in notazione fasoriale può essere anche una grandezza complessa, rappresenta l'impedenza intrinseca dello spazio libero, associata al modo TEM piano della sola componente progressiva di un'onda uniforme. Ciò in quanto per la sola onda progressiva o per la sola onda regressiva i campi elettrico e magnetico (come visto) sono ortogonali tra loro (non esistono pertanto "impedenze miste"). Con riferimento alla sola onda regressiva l'impedenza intrinseca conserva il valore del modulo, ma cambia di segno.