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Derivata della trasformata di Park

Noto che l'antitrasformata di Park è pari a:

delim{[}{matrix{3}{1}{A_a A_b A_c}}{]} = {T_p}^-1 delim{[}{matrix{3}{1}{A_dr A_qr A_0}}{]}

(1)

ovvero, per esteso:

A_a (t) = 2/{3 k_d} cos(vartheta_r) A_dr - 2/{3 k_d} sen(vartheta_r) A_qr + 1/{3 k_0} A_0

A_b (t) = 2/{3 k_d} cos(vartheta_rb) A_dr - 2/{3 k_d} sen(vartheta_rb) A_qr + 1/{3 k_0} A_0

A_c (t) = 2/{3 k_d} cos(vartheta_rc) A_dr - 2/{3 k_d} sen(vartheta_rc) A_qr + 1/{3 k_0} A_0

La derivata rispetto al tempo della prima (a titolo rappresentativo), nell'ipotesi che sia Ω costante, è pari a:

{d A_a (t}}/{d t} = 2/{3 k_d} ( cos(vartheta_r) {d A_dr}/{d t} - Omega sen(vartheta_r) A_dr )- 2/{3 k_d} ( sen(vartheta_r) {d A_qr}/{d t} + Omega cos(vartheta_r) )+ 1/{3 k_0} {d A_0}/{d t}

(2)

Si omette il calcolo della derivata di A_b e di A_c. La (2) può essere riscritta raccogliendo i seni e i coseni a fattor comune:

{d A_a (t)}/{d t} = 2/{3 k_d} cos(vartheta_r) ( {d A_dr}/{d t} - Omega ) + 2/{3 k_d} sen(vartheta_r)  (  Omega A_dr - {d A_qr}/{d t} )+ 1/{3 k_0} {d A_0}/{d t}

(3)

Estendendo il calcolo alle componenti A_b e A_c, si ottiene, in forma matriciale:

{d overline{A}_f (t)}/{d t} = {T_p}^-1 {d overline{A}_p (t)}/{d t} - 2/{3 k_d} Omega delim{[}{matrix{3}{3}{{sen(vartheta_r)} {cos(vartheta_r)} 0 {sen(vartheta_rb)} {cos(vartheta_rb)} 0 {sen(vartheta_rc)} {cos(vartheta_rc)} 0} }{]} overline{A}_p (t)

(4)

Premoltiplicando a sinistra il primo e il secondo membro della (4) per Tp e indicando l'operazione di derivazione con un apice, si ottiene:

T_p {A prime}_f = {A prime}_p - 2/{3 k_d} Omega delim{[}{matrix{3}{3}{k_d 0 0 0 {-k_d} 0 0 0 k_0}}{]} delim{[}{matrix{3}{3}{0 3/2 0 3/2 0 0 0 0 0}}{]} A_p

(5)

Svolgendo i conti:

T_p {A prime}_f = {A prime}_p + Omega delim{[}{matrix{3}{3}{0 {-1} 0 1 0 0 0 0 0}}{]} A_p = delim{[}{matrix{3}{1}{ {{A prime}_dr - Omega A_qr} {{A prime}_qr + Omega A_dr} {{A prime}_0} }}{]}

((Tipicamente la matrice che moltiplica a sinistra A_p viene inticata con T_Ω)) (6)

Dacchè si nota la vicendevole influenza fra gli assi diretto e quadratura.

Vettore di Park della derivata

) Con riferimento alla notazione con cui è stato introdotto il vettore di Park, possiamo descrivere la (6) nel seguente modo:

overline_p = {A prime}_dr - Omega A_qr - iota ({A prime}_qr + Omega A_dr)

(7)

Raccogliendo i termini derivati e i termini che moltiplicano Ω si ottiene:

overline_p = d/{d t} (A_dr + iota A_qr) + iota Omega (A_dr + iota A_qr)

(8)

Con notazione compatta si ottiene:

overline_p = (p + iota Omega) (A_dr + iota A_qr) = (p + iota Omega) overline{A}_p

(8)

Dove //p// indica l'operazione di derivazione. Si è visto che gli assi diretto e quadratura si influenzano a vicenda. Il senso fisico di ciò risiede nell'esistenza di una componente trasformatorica e una componente mozionale della fem. Inoltre si nota che a regime è la sola componente mozionale a dare un contributo non nullo.

Derivata della trasformata di park

Derivata della trasformata di Park

Vettore di Park della derivata