Partendo dalle leggi di Maxwell definite in un corpo avente una certa conduttività σ:
delim{lbrace}{matrix{2}{1}{ {rot(vec{E}) = - {partial vec{B}}/{partial t} = - mu {partial vec{H}}/{partial t}} {rot(vec{H}) = sigma vec{E} + epsilon {partial vec{E}}/{partial t}} }}{} (1)
Considerando la sola componente z e nell'ipotesi di regime sinusoidale, la (1) può essere riscritta come:
delim{lbrace}{matrix{2}{1}{ {{partial {{E}over{circ}}_x}/{partial z} = - mu iota omega {{H}over{circ}}_y} {-{partial {{H}over{circ}}_y}/{partial z} = (sigma + iota omega epsilon) {{E}over{circ}}_x} }}{} (2)
Si definisce un operatore γ che equivale a fare la derivata rispetto a z:
gamma = - partial/{partial z} doubleright delim{lbrace}{matrix{2}{1}{ { gamma {E}over{circ}_x = - mu iota omega {{H}over{circ}}_y } {- gamma {H}over{circ}_y = (sigma + iota omega epsilon) {{E}over{circ}}_x } }}{} (3)
Con riferimento alla sola onda progressiva (vedi equazioni delle onde nello spazio libero) si trova l'impedenza del mezzo:
eta = {E}over{circ}_x / {H}over{circ}_y = {- mu iota omega {{H}over{circ}}_y}/{- (sigma + iota omega epsilon) {{E}over{circ}}_x} (4)
Portando H ed E al I membro:
eta^2 = {mu iota omega}/{(sigma + iota omega epsilon)} (5)
risolvendo entrambe le equazioni della (3) nel rapporto E/H si ottiene:
E_x / H_y = {iota omega mu}/gamma = gamma / {sigma + iota omega epsilon} doubleright gamma^2 = iota omega mu (sigma + iota omega epsilon) = - mu omega^2 epsilon (sigma/{iota omega epsilon} + 1) doubleright gamma = iota omega sqrt{mu epsilon} sqrt{1 - sigma/{iota omega epsilon}} (6)
Si riconosce nella (6) la seguente forma:
gamma = alpha + iota beta (7)
Di cui il primo addendo α è una costante di attenuazione, mentre il secondo addendo β è la costante di fase (vedi modi di polarizzazione delle onde elettromagnetiche).
L'operatore γ prende il nome di //costante di propagazione//.
Spessore di penetrazione
Sia dato, per ipotesi, un buon mezzo conduttore, per il quale valga:doubleright sigma/{omega epsilon} >> 1 (8)
Si osserva che la (8) è di fatto vera per un qualunque conduttore, in quanto sono in gioco i seguenti ordini di grandezza:
sigma approx 10^7 forall conduttore
omega < 10^5 per i casi di studio reali
Pertanto la (5) può essere riscritta come:
delim{lbrace}{ matrix{2}{2}{ {eta = sqrt{{iota omega mu}/{sigma + iota omega epsilon}}} {sigma >> {omega epsilon}} } }{} doubleright eta approx sqrt{{iota omega mu}/{sigma}} = sqrt{{omega mu}/{sigma}} e^{iota pi/4} (9)
Dacchè si conclude che nei conduttori il campo elettrico e il campo magnetico sono sfasati tra loro di 45°.
nelle stesse ipotesi la (6) porge:
gamma approx iota omega sqrt{mu epsilon} sqrt{sigma/{iota omega epsilon}} = sqrt{iota omega mu sigma} = sqrt{omega mu sigma} e^{iota pi/4} (10)
doubleright gamma = sqrt{pi f mu sigma} + iota sqrt{pi f mu sigma} = alpha + iota beta doubleright alpha = beta (11)
le dimensioni di α sono l'inverso di una lunghezza. Si può pertanto definire uno //spessore di penetrazione//:
delta = alpha^-1 [delta] = [m] (12)
Questo parametro, legato a fenomeni noti come l'effetto pelle, trova applicazione, ad esempio, nel dimensionamento dei lamierini dei trasformatori.
Esercizio
E' data un'onda, che si propaga nello spazio libero, avente una frequenza di 1 GHz. Determinarne la lunghezza d'onda.* mu_0 = 4 pi 10^-7 * epsilon_0 approx 8,8 10^-12
lambda = c/f
c = 1/sqrt{mu_0 epsilon_0} = omega/beta
lambda = 1/{sqrt{mu_0 epsilon_0} f} approx 30 cm (13)
Si determini la lunghezza d'onda, alla stessa frequenza, nel rame.
* sigma = 5,7 10^7 S/m * mu_r = 1
beta = {2 pi} / lambda
beta = sqrt{pi f mu sigma}
doubleright lambda approx 10^-5 m
Si osserva una differenza di tre ordini di grandezza