Nell'ambito delle equazioni delle onde nello spazio libero e' stata definita l'impedenza caratteristica:
varphi_E = c varphi_B varphi_E = sqrt{mu_0 / epsilon_0} varphi_H (1)
Ai campi si puo' associare un'energia pari a:
u_em = 1/2 epsilon_0 E^2 + 1/{2 mu_0} B^2 (2)
Sostituendo la (1) nella (2) si ottiene:
u_em = 1/2 epsilon_0 E^2 + 1/2 epsilon_0 E^2 = epsilon_0 E^2 (3)
Ai campi si puo' altresi' associare la trasmissione di una potenza, per mezzo del vettore di Poynting:
vec{S} = vec{E} * vec{H} = E H vec{n} = E sqrt{epsilon_0 / mu_0} E vec{n} (4)
Moltiplicando e dividendo la (4) per {epsilon_0}^2 si ottiene:
vec{S} = E sqrt{epsilon_0 / mu_0 epsilon_0/epsilon_0} E vec{n} = epsilon_0 c E^2 vec{n} = c u_em vec{n} (5)
Per una regione infinitesima di spazio è possibile definire un'equazione di continuità che esprime la conservazione locale dell'energia elettromagnetica:
div(u_em c vec{n}) + {partial u_em}/{partial t} = 0 (6)
La (6) esplicita la correlzione tra un onda e l'energia da essa trasportata.
Regime sinusoidale
Per un campo elettromagnetico in regime sinusoidale (ovvero le cui componenti hanno un andamento sinusoidale nel tempo) è possibile la seguente rappresentazione cartesiana:E_x (vec{r},t) = E_Mx (vec{r}) cos(omega t + phi_x (vec{r}))
E_y (vec{r},t) = E_My (vec{r}) cos(omega t + phi_y (vec{r}))
E_z (vec{r},t) = E_Mz (vec{r}) cos(omega t + phi_z (vec{r})) (7)
anche per i campi descritti dalla (7), com'è uso fare per tensione e corrente nei circuiti elettrici in regime sinusoidale, è possibile utilizzare la notazione fasoriale. Per la sola componente x si ha:
{E_x}over{circ} (vec{r}) = E_Mx (vec{r}) e^{phi_x (vec{r})} (8)
Pertanto con la notazione (8), valida anche per il campo magnetico, è possibile riscrivere la legge di D'Alembert:
div^2 (vec{E}over{circ} (vec{r})) + {omega^2}/{c^2} (vec{E}over{circ} (vec{r}))
div^2 (vec{B}over{circ} (vec{r})) + {omega^2}/{c^2} (vec{B}over{circ} (vec{r})) (9)
Si osserva che ciascuna di queste due equazioni rappresenta, a sua volta tre equazioni complesse.
Energia di un'onda sinusoidale
Sostituendo nella (2) la notazione fasoriale di B e di H si ottiene, in valor medio:<{u_em}> = 1/4 epsilon_0 vec{E}over{circ} vec{E}over{circ v} + 1/{4 mu_0} vec{B}over{circ} vec{B}over{circ v} (10)
Il vettore di Poynting può essere, analogamente, espresso in termini fasoriali:
vec{S}over{circ} = 1/2 vec{H}over{circ} * vec{B}over{circ v} (11)
nella (11) vi è una perfetta analogia con la potenza complessa, fatta eccezione di 1/2 a moltiplicare. Ciò è dovuto al fatto che ci si riferisce ai valori massimi piuttosto che ai valori efficaci delle grandezze.
Riscrivendo l'equazione di continuità utilizzando la (10) e il valor medio della (11) si ha:
tripleint{}{}{<{partial u_em}/{partial t}> dv} + doubleint{}{}{ vec{n} ds} = 0 (12)
Se i campi hanno andamento sinusoidale nel tempo, il primo addendo della (12) è nullo, mentre il secondo addendo è pari alla parte reale della (11):
<{div(vec{S})}> = 0 doubleright Re(div(vec{S}over{circ})) = 0 (7)