In cosa consistono i calcoli di Loadflow.
In questa pagina tento di dare una vaga idea del contesto in cui si colloca questo programma a chi non ha avuto la fortuna di seguire il corso di sistemi elettrici per l' energia. Procedo per approssimazioni successive; il lettore può fermarsi al punto che vuole. Leggere prima le avvertenze. (torna all'indice).
A che servono
Sono calcoli che determinano i "flussi" di potenza a regime nei lati di una rete elettrica di cui si conoscono alcune informazioni.
A chi servono
Quelli veri servono ai gestori delle reti di produzione e distribuzione dell' energia elettrica, quelli di principio servono agli studenti di ingegneria elettrica per imparare come vanno le cose.Questo programma è adatto solo a questi ultimi.
Perchè quelli veri servono
I calcoli di loadflow consentono di controllare e prevedere i flussi di potenza delle linee (e quindi anche le potenze richieste ai generatori) nelle diverse configurazioni della rete e richieste delle utenze.
In fase di pianificazione (planning) consentono di pianificare l 'evoluzione della rete atta a soddisfare le esigenze variabili delle utenze (nel lungo periodo, ossia un orizzonte temporale dell' ordine del decennio).
In fase di esercizio (operation) vengono svolti on-line, in tempo reale, per determinare l'assetto ottimale della rete al variare della richiesta dei carichi (qui l'orizzonte temporale è breve, dai minuti alle ore).
Per assetto ottimale si intende:
- adeguare la potenza attiva prodotta nelle centrali con la richiesta effettiva e ottimizzarne la produzione per avere massimo rendimento e minori spese economiche (quindi si producono dati destinati ai regolatori di potenza di centrale).
- gestire la configurazione della rete di distribuzione in modo da non sovraccaricare le linee ed assicurare continuità di servizio anche in caso di apertura di n linee dovuta a guasti (questo viene chiamato calcolo di sicurezza statica; si effettua di solito per n=1 o 2, ossia per ogni linea interrotta o per ogni combinazione di due linee interrotte).
Perchè sono iterativi
Purtroppo le informazioni note ai gestori della rete sono legate alle incognite tramite equazioni non lineari.
In generale non è possibile risolvere in forma chiusa un sistema di equazioni non lineari: è possibile però risolverli numericamente attraverso metodi iterativi.
Gli algoritmi usati per i calcoli di Loadflow derivano da due famiglie di metodi numerici per la risoluzione di sistemi non lineari: Gauss e Newton.
Il modello delle reti
Abbiamo detto che questi calcoli si inseriscono nell' ambito delle reti di generazione e distribuzione dell' energia elettrica.
Queste reti, di solito:Quindi:Sono in regime alternato sinusoidale. Sono trifasi, e sono normalmente simmetriche ed equilibrate. Possono avere lati a diversa tensione (presenza di trasformatori). Questi punti devono essere chiari per la comprensione di quanto segue.Le grandezze elettriche sono numeri complessi. Si considera il modello della rete monofase equivalente. Si lavora con valori relativi (in perunità).
Chi ha alle spalle un corso di elettrotecnica elementare, abituato a circuiti energicamente isolati dal mondo esterno, non troverà familiare il modello delle reti che viene adottato in questo ambito; vediamo di entrare nel dettaglio.
Nelle reti di cui ci occupiamo troviamo lati (bipoli) di generazione e utilizzazione connessi tramite linee di trasmissione; di norma le linee in AT sono modellizzate con un circuito a parametri concentrati che tiene conto degli effetti trasversali ( a T o a P ), mentre quelle a media e bassa tensione sono caratterizzate solo la un parametro longitudinale: va da sè che un insieme di linee interconnesse può essere ridotto e schematizzato con un grafo i cui lati sono caratterizzati da un valore di impedenza (o di ammettenza), detta impedenza (ammettenza) di lato; è ovvio che questi valori sono intimamente correlati con i valori dei parametri concentrati dei modelli delle linee.
Fin qui nulla di inconsueto, ora però bisogna tenere conto dei lati di generazione e di utilizzazione. Il modello deve rispecchiare le informazioni che ha in possesso il gestore della rete: oltre alla disposizione geometrica delle linee e dei loro parametri, di cui abbiamo già tenuto conto, il gestore conosce anche le potenze attive generate nelle centrali e le relative tensioni di generazione (le conosce perchè sono decise da lui); conosce inoltre le potenze richieste dagli utilizzatori (le misura).
Ecco quindi che un' intero lato di generazione, comprendente alternatore e trasformatore, viene modellizzato con un nodo caratterizzato da una iniezione (tipicamente positiva) di potenza attiva e da una tensione fissata.Questi tipi di nodo vengono detti PE e come abbiamo visto modellizzano i lati di generazione in cui si conoscono tensione e potenza attiva.
Allo stesso modo un lato utilizzatore a potenza costante viene modellizzato fissando l'iniezione di potenza (attiva e reattiva, tipicamente negative) nel nodo al quale fa capo (il lato viene così eliminato). Si badi che un carico a impedenza costante non è modellizzabile in questo modo .
Il grosso delle utenze sono caratterizzate dall' avere potenza assorbita costante, e quindi come abbiamo visto sono modellizzabili con nodi nei quali sono note le iniezioni di potenza attiva e reattiva: essi sono chiamati nodi PQ.
Il nodo della rete in grado di erogare qualsiasi valore di potenza mantenendo invariata la sua tensione è detto nodo di saldo delle potenze (nodo Ed); di solito la fase della sua tensione è posta a zero ed è riferimento per le altre tensioni.
Concludendo, il modello a cui si fa riferimento consiste in una rete passiva che può scambiare energia con il mondo esterno attraverso i suoi nodi, i quali possono avere un bilancio energetico non nullo.
I nodi sono quindi caratterizzati oltre che dalla tensione nodale anche da una iniezione di potenza (complessa) nodale; di conseguenza a ogni nodo sono associate quattro grandezze reali: il modulo della tensione, la fase della tensione, l'iniezione di potenza attiva, l'iniezione di potenza reattiva.
La formulazione del problema
Abbiamo detto che i calcoli di loadflow servono per conoscere i "flussi" di potenza nei lati della rete.
Nel nostro modello un lato è caratterizzato da un' ammettenza longitudinale (mi è più comodo ragionare con le ammettenze).
Calcoliamo la potenza che fluisce dal nodo p al nodo q attraverso il lato pq ( se ci sono più lati che collegano due nodi è opportuno ridurli facendo il parallelo ).Dalla definizione stessa di potenza apparente:Ma per la legge di Ohm è:Sostituendo:Possiamo quindi determinare le potenze e le correnti fluenti in tutti i lati se conosciamo il profilo di tensioni nodali.
Segue che i calcoli di loadflow consistono nel determinare questo profilo di tensioni: le incognite primarie sono quindi i moduli e le fasi delle tensioni nodali.
Il sistema da risolvere
Ecco finalmente il punto di partenza dei calcoli:Per ogni nodo possiamo scrivere l' equazione che lega le iniezioni di potenza con le tensioni nodali:conosciamo il grafo della rete, ossia quanti sono i nodi e come sono collegati tra loro. conosciamo le impedenze o le ammettenze che caratterizzano ogni lato del grafo. conosciamo per ogni nodo del grafo almeno due grandezze nodali. Dove:
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Ora non rimane che esprimere le iniezioni di corrente in funzione delle tensioni nodali; con il metodo dei potenziali indipendenti ( elettrotecnica elementare ) posso scrivere le equazioni matriciali:
Dove Y è la matrice delle ammettenze nodali, calcolabile per ispezione della rete, e Z è la matrice delle impedenze nodali (è utile nei calcoli di guasto), ottenibile invertendo Y ; E e I sono i vettori delle tensioni nodali e delle iniezioni di corrente nodali.![]()
E' più conveniente usare la seconda equazione; scrivendola per il singolo nodo p, se n è il numero di nodi, diviene:Sostituendo nell' espressione delle iniezioni di potenza otteniamo il sistema finale di equazioni da risolvere, che lega in ogni nodo iniezioni di potenza e tensioni nodali:
Questo sistema non lineare composto da n equazioni complesse può essere riscritto con 2n equazioni reali, esprimendo le grandezze in gioco in forma polare o in forma cartesiana (nel mio programma uso la forma polare).
E' a questo punto che entrano in gioco i metodi numerici di risoluzione dei sistemi non lineari.
I valori iniziali
I metodi iterativi che si usano per calcolare numericamente il profilo di tensioni della rete richiedono una stima iniziale delle incognite. Più i valori iniziali sono prossimi alla soluzione, più la convergenza del metodo sarà veloce.
Ipotizzando un buon funzionamento della rete ci aspettiamo che le tensioni abbiano valore vicino a quello nominale (ossia 1 in valore relativo) e sfasamenti piccoli: un buon punto di partenza è quindi considerare inizialmente unitari i moduli incogniti e nulle le fasi incognite (se si è posto a zero l'angolo arbitrario).
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