In cosa consistono i calcoli di Loadflow.

In questa pagina tento di dare una vaga idea del contesto in cui si colloca questo programma a chi non ha avuto la fortuna di seguire il corso di sistemi elettrici per l' energia. Procedo per approssimazioni successive; il lettore può fermarsi al punto che vuole. Leggere prima le avvertenze.  (torna all'indice).

A che servono
Sono calcoli che determinano i "flussi" di potenza a regime nei lati di una rete elettrica di cui si conoscono alcune informazioni.


A chi servono
Quelli veri servono ai gestori delle reti di produzione e distribuzione dell' energia elettrica, quelli di principio servono agli studenti di ingegneria elettrica per imparare come vanno le cose.Questo programma è adatto solo a questi ultimi.


Perchè quelli veri servono
I calcoli di loadflow consentono di controllare e prevedere i flussi di potenza delle linee (e quindi anche le potenze richieste ai generatori)  nelle diverse configurazioni della rete e richieste delle utenze.
In fase di pianificazione (planning) consentono di pianificare l 'evoluzione della rete atta a soddisfare le esigenze variabili delle utenze (nel lungo periodo, ossia un orizzonte temporale dell' ordine del decennio).
In fase di esercizio (operation) vengono svolti on-line, in tempo reale, per determinare l'assetto ottimale della rete al variare della richiesta dei carichi (qui l'orizzonte temporale è breve, dai minuti alle ore).
Per assetto ottimale si intende:


Perchè sono iterativi
Purtroppo le informazioni note ai gestori della rete sono legate alle incognite tramite equazioni non lineari.
In generale non è possibile risolvere in forma chiusa un sistema di equazioni non lineari: è possibile però risolverli numericamente attraverso metodi iterativi.
Gli algoritmi usati per i calcoli di Loadflow derivano da due famiglie di metodi numerici per la risoluzione di sistemi non lineari: Gauss e Newton.


Il modello delle reti
Abbiamo detto che questi calcoli si inseriscono nell' ambito delle reti di generazione e distribuzione dell' energia elettrica.
Queste reti, di solito:

  • Sono in regime alternato sinusoidale.
  • Sono trifasi, e sono normalmente simmetriche ed equilibrate.
  • Possono avere lati a diversa tensione (presenza di trasformatori).
  • Quindi:
  • Le grandezze elettriche sono numeri complessi.
  • Si considera il modello della rete monofase equivalente.
  • Si lavora con valori relativi (in perunità).
  • Questi punti devono essere chiari per la comprensione di quanto segue.
    Chi ha alle spalle un corso di elettrotecnica elementare, abituato a circuiti energicamente isolati dal mondo esterno, non troverà familiare il modello delle reti che viene adottato in questo ambito; vediamo di entrare nel dettaglio.
    Nelle reti di cui ci occupiamo troviamo lati (bipoli) di generazione e utilizzazione connessi tramite linee di trasmissione; di norma le linee in AT sono modellizzate con un circuito a parametri concentrati che tiene conto degli effetti trasversali ( a T o a P ), mentre quelle a media e bassa tensione sono caratterizzate solo la un parametro longitudinale: va da sè che un insieme di linee interconnesse può essere ridotto e schematizzato con un grafo i cui lati sono caratterizzati da un valore di impedenza (o di ammettenza), detta impedenza (ammettenza) di lato; è ovvio che questi valori sono intimamente correlati con i valori dei parametri concentrati dei modelli delle linee.
    Fin qui nulla di inconsueto, ora però bisogna tenere conto dei lati di generazione e di utilizzazione. Il modello deve rispecchiare le informazioni che ha in possesso il gestore della rete: oltre alla disposizione geometrica delle linee e dei loro parametri, di cui abbiamo già tenuto conto, il gestore conosce anche le potenze attive generate nelle centrali e le relative tensioni di generazione (le conosce perchè sono decise da lui); conosce inoltre le potenze richieste dagli utilizzatori (le misura).
    Ecco quindi che un' intero lato di generazione, comprendente alternatore e trasformatore, viene modellizzato con un nodo caratterizzato da una iniezione (tipicamente positiva) di potenza attiva e da una tensione fissata.Questi tipi di nodo vengono detti PE e come abbiamo visto modellizzano i lati di generazione in cui si conoscono tensione e potenza attiva.
    Allo stesso modo un lato utilizzatore a potenza costante viene modellizzato fissando l'iniezione di potenza (attiva e reattiva, tipicamente negative) nel nodo al quale fa capo (il lato viene così eliminato). Si badi che un carico a impedenza costante non è modellizzabile in questo modo .
    Il grosso delle utenze sono caratterizzate dall' avere potenza assorbita costante, e quindi come abbiamo visto sono modellizzabili con nodi nei quali sono note le iniezioni di potenza attiva e reattiva: essi sono chiamati nodi PQ.
    Il nodo della rete in grado di erogare qualsiasi valore di potenza mantenendo invariata la sua tensione è detto nodo di saldo delle potenze (nodo Ed); di solito la fase della sua tensione è posta a zero ed è riferimento per le altre tensioni.
    Concludendo, il modello a cui si fa riferimento consiste in una rete passiva che può scambiare energia con il mondo esterno attraverso i suoi nodi, i quali possono avere un bilancio energetico non nullo.
    I  nodi sono quindi caratterizzati oltre che dalla tensione nodale anche da una iniezione di potenza  (complessa)  nodale; di conseguenza a ogni nodo sono associate quattro grandezze reali: il modulo della tensione, la fase della tensione, l'iniezione di potenza attiva, l'iniezione di potenza reattiva.

    La formulazione del problema
    Abbiamo detto che i calcoli di loadflow servono per conoscere i "flussi" di potenza nei lati della rete.
    Nel nostro modello un lato è caratterizzato da un' ammettenza longitudinale (mi è più comodo ragionare con le ammettenze).
    Calcoliamo la potenza che fluisce dal nodo p al nodo q attraverso il lato pq ( se ci sono più lati che collegano due nodi è opportuno ridurli facendo il parallelo ).Dalla definizione stessa di potenza apparente:

    Ma per la legge di Ohm è:
    Sostituendo:
    Possiamo quindi determinare le potenze e le correnti fluenti in tutti i lati se conosciamo il profilo di tensioni nodali.
    Segue che i calcoli di loadflow consistono nel determinare questo profilo di tensioni: le incognite primarie sono quindi i moduli e le fasi delle tensioni nodali.

    Il sistema da risolvere
    Ecco finalmente il punto di partenza dei calcoli:

  • conosciamo il grafo della rete, ossia quanti sono i nodi e come sono collegati tra loro.
  • conosciamo le impedenze o le ammettenze che caratterizzano ogni lato del grafo.
  • conosciamo per ogni nodo del grafo almeno due grandezze nodali.
  • Per ogni nodo possiamo scrivere l' equazione che lega le iniezioni di potenza con le tensioni nodali:
    Dove:

    Ora non rimane che esprimere le iniezioni di corrente in funzione delle tensioni nodali; con il metodo dei potenziali indipendenti ( elettrotecnica elementare ) posso scrivere le equazioni matriciali:


    Dove Y è la matrice delle ammettenze nodali, calcolabile per ispezione della rete, e Z è la matrice delle impedenze nodali (è utile nei calcoli di guasto), ottenibile invertendo Y ; E e I sono i vettori delle tensioni nodali e delle iniezioni di corrente nodali.
    E' più conveniente usare la seconda equazione; scrivendola per il singolo nodo p, se n è il numero di nodi, diviene:
    Sostituendo nell' espressione delle iniezioni di potenza otteniamo il sistema finale di equazioni da risolvere, che lega in ogni nodo iniezioni di potenza e tensioni nodali:
     


    Questo sistema non lineare composto da n equazioni complesse può essere riscritto con 2n equazioni reali, esprimendo le grandezze in gioco in forma polare o in forma cartesiana  (nel mio programma uso la forma polare).
    E' a questo punto che entrano in gioco i metodi numerici di risoluzione dei sistemi non lineari.


    I valori iniziali
    I metodi iterativi che si usano per calcolare numericamente il profilo di tensioni della rete richiedono una stima iniziale delle incognite. Più i valori iniziali sono prossimi alla soluzione, più la convergenza del metodo sarà veloce.
    Ipotizzando un buon funzionamento della rete ci aspettiamo che le tensioni abbiano valore vicino a quello nominale (ossia 1 in valore relativo) e sfasamenti piccoli: un buon punto di partenza è quindi considerare inizialmente unitari i moduli incogniti e nulle le fasi incognite (se si è posto a zero l'angolo arbitrario).



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