L'algoritmo di Stott-Alsac. (Fast Decompled LoadFlow)

Alcune sintetiche note generali su questo algoritmo, figlio del metodo di Newton. Vedi anche come è implementato nel programma. Leggere prima le avvertenze. (torna all'indice).


Nipoti più veloci
Il metodo di Newton è caratterizzato da una buona velocità di convergenza ma da calcoli ciclici molto pesanti: ciò può comportare tempi di elaborazione non ottimali.
Nell' applicazione di questo metodo ai calcoli di Loadflow è possibile introdurre alcune ipotesi semplificative facendo assunzioni sensate riguardanti la rete: in tal modo si ottiene una riduzione di complessità dei calcoli ciclici a discapito della velocità di convergenza, permettendo di adottare un compromesso ottimo tra i due aspetti.
Questi algoritmi semplificati derivati dal metodo di Newton sono:

I primi due si basano su due assunzioni: effetti resistivi piccoli e tensioni nodali poco sfasate tra loro; di conseguenza le ammettenze hanno angoli caratteristici vicini a -90° (parti reali nulle) e i fasori delle tensioni nodali sono (in un riferimento opportuno) tutti vicini all'asse reale (fasi e parti immaginarie piccole).
Queste assunzioni sono motivate dalle caratteristiche strutturali e di funzionamento della rete.

Carpenter
Ad esempio possiamo osservare l'effetto delle approssimazioni suggerite da queste assunzioni  sullo Jacobiano in forma polare, i cui elementi sono:

I coseni diventano molto piccoli e i seni sono vicini all'unità; di conseguenza le potenze attive dipendono poco dai moduli delle tensioni, e le potenze reattive dipendono poco dalle fasi delle tensioni.
Approssimando questi elementi a zero otteniamo uno Jacobiano molto più sparso che consente di disaccoppiare il calcolo degli incrementi delle incognite in due passaggi distinti, ognuno caratterizzato dall'inversione di una matrice di ordine sensibilmente minore dello Jacobiano, con una conseguente riduzione del tempo di elaborazione di ogni ciclo.
Infatti in seguito alle approssimazioni fatte, le potenze attive dipendono solo dalle fasi, quindi i residui attivi sono legati solo agli incrementi delle fasi mediante una matrice che è una partizione dello Jacobiano e che possiamo chiamare Jacobiano attivo. Ne segue che gli incrementi delle fasi sono calcolabili mediante il prodotto dell' inversa dello Jacobiano attivo per il vettore dei residui attivi; allo stesso modo gli incrementi dei moduli delle tensioni sono calcolabili mediante il prodotto dell' inversa dello Jacobiano reattivo per il vettore dei residui reattivi.
E' facile constatare che lo Jacobiano attivo ha un numero di righe pari al numero di iniezioni di potenza attiva note e un numero di colonne pari al numero di fasi incognite (dualmente lo Jacobiano reattivo ha un numero di righe pari al numero di iniezioni di potenza reattiva note e un numero di colonne pari al numero di moduli incogniti).
E' chiaro che affinchè questo metodo sia applicabile occorre che le due matrici (Jacobiano attivo e reattivo) siano quadrate e invertibili; per la prima proprietà è necessario che il numero di equazioni (reali) in P (ossia il numero di iniezioni di potenza attiva note) sia uguale al numero di fasi incognite e dualmente che il numero di equazioni (reali) in Q (iniezioni reattive note) sia uguale al numero di moduli incogniti. Senza addentrarci in interpretazioni fisiche, questa ipotesi viene meno se il numero di nodi di tipo P non è uguale al numero di nodi di tipo QE; poichè di solito questi numeri sono entrambi nulli, l'ipotesi è normalmente verificata.




Stott: una ulteriore approssimazione
(vedi l'applicazione e i dettagli implementativi)          Torna  Su

Quanto visto è lo scheletro del metodo di Carpenter. Il metodo di Stott-Alsac nasce aggiungendo una ulteriore assunzione a quelle di Carpenter, ossia :

Essa afferma che l'iniezione reattiva nel nodo p ha valore molto minore del prodotto tra il quadrato del modulo della tensione in p e la suscettanza nodale pp. E' verificabile (e intuibile) che questa assunzione ha senso in tutti i nodi di reti normali, sia generatori che utilizzatori.
Applicando l'approssimazione suggerita da questa assunzione, gli elementi dello Jacobiano attivo e reattivo si riducono così:
Dove Bpq sono gli elementi della matrice delle suscettanze nodali.
Riprendendo le equazioni che legano gli incrementi delle incognite ai residui, esse possono quindi essere scritte così:

(attenzione al campo di valori di q, che è diverso nelle due formule: nella prima "spazza"
i nodi che forniscono fasi incognite, nella seconda i nodi che forniscono moduli incogniti)
Riscrivendo in forma matriciale:
Abbiamo quindi ottenuto un legame lineare e costante tra delle variabili strettamente legate ai residui e altre variabili strettamente legate agli incrementi: questo legame è facilmente invertibile, operando una sola volta, all'inizio, l'inversione delle due matrici costanti Ba e Br, ricavabili come suggerito dalle formule dalla matrice delle suscettanze nodali della rete (a sua volta ottenuta dalla matrice delle ammettenze nodali azzerando i termini resistivi).
Con Stott è possibile calcolare ciclicamente gli incrementi delle incognite con semplici e veloci passaggi, evitando le gravose operazioni di inversione presenti nel metodo di Newton e, anche se snellite, in quello di Carpenter.
Il metodo di Stott (come quello di Carpenter) non è applicabile se il numero di equazioni in P e Q non sono uguali rispettivamente al numero di incognite d e E, ossia se ci sono dei nodi di tipo Pd o QE di troppo (il numero di nodi Pd deve essere uguale al numero di nodi QE).
Ulteriori informazioni, relative alla descrizione dettagliata dei passi dell' algoritmo di Stott, sono consultabili qui.


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