Sia data la successione:
ed una qualsiasi funzione della variabile complessa z. È
quindi possibile associare alla successione la Serie Formale
Alcuni esempi di serie formali sono di seguito riportate:
La Z-trasformata della successione è definita come quella
particolare serie formale con
:
È semplice verificare che l'operatore di Z-trasformazione è lineare nello spazio delle serie numeriche o dei segnali a dati campionati.
Al fine di rendere utilizzabile (in termini analitici) l'operazione di Z-trasformazione è importante garantire che sia soddisfatta la convergenza della serie (1.1) che definisce la Z-trasformata. Il seguente Teorema di Convergenza ci viene in aiuto:
Poichè la Z-trasformata è solo uno strumento analitico di analisi dei segnali digitali, è estremamente importante che l'operatore di Z-traformazione goda della proprietà di Invertibilità. Cioè ad una funzione della variabile complessa z deve corrispondere uno ed un solo segnale tempo-discreto. Ciò è garantito dal Teorema di antitrasformazione:
Le regioni di convergenza dei segnali tempo discreti che si incontrano più comunemente sono riportati nella tabella 1.1
Table 1.1: Trasformate S e Z per le funzioni più frequenti.